韦达定理(Vieta's Theorem)的内容
(根与系数的关系)
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且b^2-4ac≥0)中
设两个实数根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
用韦达定理判断方程的根
若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac<0 则方程没有实数解
韦达定理的证明
一元二次方程求根公式为:
当方程有实数根时
x=(-b±√b^2-4ac)/2a
则x1=(-b+√b^2-4ac)/2a,x2=(-b-√b^2-4ac)/2a
x1+x2=(-b+√b^2-4ac/2a)+(-b-√b^2-4ac/2a)
x1+x2=-b/a
x1*x2=(-b+√b^2-4ac/2a)*(-b-√b^2-4ac/2a)
x1*x2=c/a
韦达定理
判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理。
韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次
方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,Π是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是,那么
由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理推广的证明
设x1,x2,……,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)
通过系数对比可得:
A(n-1)=-An(∑xi)
A(n-2)=An(∑xixj)
…
A0==(-1)^n*An*ΠXi
所以:∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,Π是求积。