雅可比行列式 百科内容来自于: 百度百科

雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian) 它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式 。 事实上,在函数都连续可微(即偏导数都连续)的前提之下,它就是函数组的微分形式下的系数矩阵(即雅可比矩阵)的行列式。 若因变量对自变量连续可微,而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式;这常用于重积分的计算中。 如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零,它就处处为正或者处处为负。如果雅可比行列式恒等于零,则函数组是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。

正文

通常称为雅可比式(Jacobian)。它是以 nn元函数
u i=u i(x 1,x 2,……,x n) (i=1,2,……n) (1)
的偏导数为元素的行列式
常记为
雅可比行列式
事实上,在(1)中函数都连续可微(即偏导数都连续)的前提之下, J就是函数组(1)的微分形式
雅可比行列式
的系数矩阵(即雅可比矩阵)的行列式。

验证方式

若因变量 u1, u2,…, un对自变量 x1, x2,…, xn连续可微,而自变量 x1, x2,…, xn对新变量 r1, r2,…, rn连续可微,则因变量( u1, u2,…, un)也对新变量( r1, r2,…, rn)连续可微,并且
雅可比行列式
这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。而公式(3)也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式;例如,当( uv)对( xyz)连续可微,而( xyz)对( r,s)连续可微时,便有
雅可比行列式
如果(3)中的 r能回到 u,,则
雅可比行列式
(3)
给出 。
这时必须有
雅可比行列式
(4)
于是以此为系数行列式的联立线性方程组 (2)中能够把(d x1,d x2,…,d xn)解出来,作为(d u1,d u2,…,d un)的函数。而根据隐函数存在定理,在( u1, u2,…, un)对( x1, x2,…, xn)连续可微的前提下,只须条件(4)便足以保证( x1, x2,…, xn)也对( u1, u2,…, un)连续可微,因而(4)必然成立。这样,连续可微函数组(1)便在雅可比行列式不等于零的条件(4)之下,在每一对相应点 u=( u1, u2,…, un)与 x =( x1, x2,…, xn)的邻近范围内建立起点与点之间的一个一对一的对应关系。
n=2的情形,以Δ x1,Δ x2为邻边的矩形(Δ R)对应到( u1, u2)平面上的一个曲边四边形(Δ S),其面积Δ S关于Δ x1,Δ x2的线性主要部分,即面积微分是
雅可比行列式
这常用于重积分的计算中。
如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零,它就处处为正或者处处为负(其正负号标志着 u-坐标系的旋转定向是否与 x-坐标系的一致)。如果雅可比行列式恒等于零,则函数组( u1, u2,…, un)是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。
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- 来自原声例句
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