标准正交基 百科内容来自于: 百度百科

高等数学的一个概念。若向量空间的基是正交向量组,则称其为向量空间的正交基,若正交向量组的每个向量都是单位向量,则称其为向量空间的标准正交基。

名词释义

代数名词

线性代数中,一个内积空间正交基(orthogonal basis)是元素两两正交的。称基中的元素为 基向量。假若,一个正交基的基向量的模长都是单位长度1,则称这正交基为 标准正交基(Orthonormal basis)。
无论在有限维还是无限维空间中,正交基的概念都是很重要的。在无限维希尔伯特空间中,正交基不再是 哈默尔基,也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。因此在无限维空间中,正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间(而不是整个空间)的集合。
注意,在没有定义内积的空间中,“正交基”一词是没有意义的。因此,一个巴拿赫空间有正交基,当且仅当它是一个希尔伯特空间

简单范例

(1). a=(1/4,-1/4,1);b=(2,-2,-1);c=(1,1,0)是R³的一组正交基;
(2). α=(1,0,0);β=(0,1,0);γ=(0,0,1)是R³的一组标准正交基。
n维欧式空间V中,n个向量的正交向量组称为V的正交基,由单位向量组成的正交基称为标准正交基。由单位向量构成的并且相互正交的基称为标准正交基。正交,意为两向量的内积等于零
注: ① 由正交基的每个向量单位化,可得到一组标准正交基. ② n维欧氏空间V中的一组基为标准正交基。

存在性

运用佐恩引理和格拉姆-施密特正交化方法,可以证明每个希尔伯特空间都有基,并且有正交基。同一个空间的正交基的基数必然是相同的。当一个希尔伯特空间有可数个元素组成的正交基,就说这个空间是可分的。

哈默尔基

有前面的定义可以知道,在无穷维空间的情况下,正交基不再是一般线性代数的定义下的基。为了区分,把一般线性代数的定义下的基称为哈默尔基。
在内积空间的实际应用中,哈默尔基甚少出现,因此提到“基”的概念时,一般指的是正交基。
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- 来自原声例句
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