牛顿发展了现代微积分的基础数学概念和技术。
Newton developed mathematical concepts and techniques that are fundamental to modern calculus.
我所要求的只是替代方案，而不是让我们所有人都走上学习微积分的道路。
All that I ask is that alternatives be offered instead of putting all of us on the road to calculus.
来想想二重积分的其他用途吧。
先来说说关于建立二重积分的事。
这是建立三重积分的绝佳练习。
See, this is actually good practice to remember how we set up triple integrals.
而且我们能用线积分的定义计算出来。
And this we can compute using the definition of the line integral.
这向我们展示了，计算线积分的办法。
OK, so that should give you overview of various ways to compute line integrals.
因为这个变量，和积分的变量不一样。
And it's because this variable here is not the same as the variables on which we are integrating.
这也就是二重积分的意义。
这和计算其他三重积分的方法是相同的。
It's just the same way that you would compute any other triple integral.
在化成两个积分的情况下，如何处理呢？
这是由于我们才刚开始做二重积分的缘故。
你们应该懂很多积分的。
怎么变换积分的顺序呢？
请记住，这里主要的技巧是找到积分的界限。
So, remember, the main trick here is to find the bounds of integration.
下载学习资料并参加评估会得到积分的奖励。
Downloading the studying material and taking the assessment is rewarded with points.
这意味着，在积分的时候会遇到一点小麻烦。
That means you will have a little bit of trig to do in the integral.
来看看更多的取通量积分的方法。
线积分的意义，就是这力所做的功。
在这时这个问题中微积分的部分。
这就是二重积分的基本定义了。
我们已经学过，如何建立这种二重积分的公式。
We've seen various formulas for how to set up the double integral.
第一个是积分的对象，称为积分要素。
至此我已经得到了，用来计算二重积分的所有量。
格林公式是另一种可以,避免计算线积分的方法。
So, Green's theorem is another way to avoid calculating line integrals if we don't want to.
那么，接下来我们来求积分的上下限吧。
今天这个是用来求F的法向分量的积分的。
当然，可以把不影响积分的常数a提出来。
And, of course, I can get rid of some a's in there and take them out.
就是x乘以函数做积分的均值，区域中的。
他会掌握微积分的，因为他一直在温习这门课程。
应用推荐