学园教授
欧几里得(Euclid)是古希腊著名数学家欧氏几何学开创者欧几里得生于雅典当时雅
典就是古希腊文明的中心浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得当他还是个十几岁的少年时就迫不及待地想进入柏拉图学园学习
一天一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的柏拉图学园只见学园的大门紧闭着门口挂着一块木牌上面写着不懂几何者不得入内! 这是当年柏拉图亲自立下的规矩为的是让学生们知道他对数学的重视然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了有人在想正是因为我不懂数学才要来这儿求教的呀如果懂了还来这儿做什么?正在人们面面相觑不知是退是进的时候欧几里得从人群中走了出来只见他整了整衣冠看了看那块牌子然后果断地推开了学园大门头也没有回地走了进去
柏拉图学园是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校在学园里师生之间的教学完全通过对话的形式进行因此要求学生具有高度的抽象思维能力数学尤其是几何学所涉及对象就是普遍而抽象的东西它们同生活中的实物有关但是又不来自于这些具体的事物因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径
柏拉图甚至声称上帝就是几何学家这一观点不仅成为学园的主导思想而且也为越来越多的希腊民众所接受人们都逐渐地喜欢上了数学欧几里德也不例外他在有幸进入学园之后便全身心地沉潜在数学王国里他潜心求索以继承柏拉图的学术为奋斗目标除此之外他哪儿也不去什么也不干熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿可以说连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想数学理论经过对柏拉图思想的深入探究他得出结论图形是神绘制的所有一切现象的逻辑规律都体现在图形之中因此对智慧训练就应该从图形为主要研究对象的几何学开始他确实领悟到了柏拉图思想的要旨并开始沿着柏拉图当年走过的道路把几何学的研究作为自己的主要任务并最终取得了世人敬仰的成就
几何学贡献
最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及后经古希腊等人传到古希腊的都城又借毕达哥拉斯学派系统奠基在欧几里得以前人们已经积累了许多几何学的知识然而这些知识当中存在一个很大的缺点和不足就是缺乏系统性大多数是片断零碎的知识公理与公理之间证明与证明之间并没有什么很强的联系性更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明因此随着社会经济的繁荣和发展特别是随着农林畜牧业的发展土地开发和利用的增多把这些几何学知识加以条理化和系统化成为一整套可以自圆其说前后贯通的知识体系已经是刻不容缓成为科学进步的大势所趋欧几里得通过早期对柏拉图数学思想尤其是几何学理论系统而周详的研究已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势他下定决心要在有生之年完成这一工作为了完成这一重任欧几里得不辞辛苦长途跋涉从爱琴海边的雅典古城来到尼罗河流域的埃及新埠亚历山大城为的就是在这座新兴的但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷在此地的无数个日日夜夜里他一边收集以往的数学专著和手稿向有关学者请教一边试着著书立说阐明自己对几何学的理解哪怕是尚肤浅的理解经过欧几里得忘我的劳动终于在公元前300年结出丰硕的果实这就是几经易稿而最终定形的几何原本一书这是一部传世之作几何学正是有了它不仅第一次实现了系统化条理化而且又孕育出一个全新的研究领域欧几里得几何学简称欧氏几何
几何学著作
几何原本是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作传到今天的欧几里得著作并不多然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中看出他真实的思想底蕴
全书共分13卷书中包含了5条公理5条公设23个定义和467个命题在每一卷内容当中欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式即先提出公理公设和定义然后再由简到繁地证明它们这使得全书的论述更加紧凑和明快而在整部书的内容安排上也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排它由浅到深从简至繁先后论述了直边形圆比例论相似形数立体几何以及穷竭法等内容其中有关穷竭法的讨论成为近代微积分思想的来源仅仅从这些卷帙的内容安排上我们就不难发现这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及一直到公元前4世纪欧几里得生活时期前后总共400多年的数学发展历史这其中颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中欧几里得对直边形和圆的论述正是在这几卷中他总结和发挥了前人的思维成果巧妙地论证了毕达哥拉斯定理也称勾股定理即在一直角三角形中斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和他的这一证明从此确定了勾股定理的正确性并延续了2000多年
几何原本是一部在科学史上千古流芳的巨著它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述使这些远古的数学思想发扬光大它开创了古典数论的研究在一系列公理定义公设的基础上创立了欧几里得几何学体系成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范照欧氏几何学的体系所有的定理都是从一些确定的不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的在这种演绎推理中对定理的每个证明必须或者以公理为前提或者以先前就已被证明了的定理为前提最后做出结论这一方法后来成了用以建立任何知识体系的严格方式人们不仅把它应用于数学中也把它应用于科学而且也应用于神学甚至哲学和伦理学中对后世产生了深远的影响尽管欧几里得的几何学在差不多2000年间被奉为严格思维的范例但实际上它并非那么完美人们发现一些被欧几里得作为不证自明的公理却难以自明越来越遭到怀疑比如第五平行公设欧几里得在几何原本一书中断言通过已知外一已知点能作且仅能作一条直线与已知直线平行 这个结果在普通平面当中尚能够得到经验的印证那么在无处不在的闭合球面之中(地球就是个大曲面)这个平行公理却是不成立的俄国人罗伯切夫斯基和德国人黎曼由此创立了球面几何学即非欧几何学
此外欧几里得在几何原本中还对完全数做了探究他通过 2^(n? 1)·(2^n ? 1) 的表达式发现头四个完全数的
当
n= 2: 2^1(2^2 ? 1) = 6 当
n= 3: 2^2(2^3 ? 1) = 28 当
n= 5: 2^4(2^5 ? 1) = 496 当
n= 7: 2^6(2^7 ? 1) = 8128 一个偶数是完全数当且仅当它具有如下形式2^(n ? 1).(2^n ? 1)此事实的充分性由欧几里得证明而必要性则由欧拉所证明
其中2^n? 1是素数上面的6和28对应着
n=2和3的情况我们只要找到了一个形如2^n? 1的素数即梅森素数也就知道了一个偶完全数
尽管没有发现奇完全数但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明若有奇完全数则其形式必然是12
p+ 1或36
p+ 9的形式其中p是素数在10^18以下的自然数中奇完全数是不存在的
首五个完全数是
28
33550336(8位)