设
a=(x,y),
b=(x',y')。
加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法
OB+OA=OC。
a+
b=(x+x',y+y')。
a+
0=
0+
a=
a。
交换律:
a+
b=
b+
a;
结合律:(
a+
b)+
c=
a+(
b+
c)。
减法
如果
a、
b是互为相反的向量,那么
a=-
b,
b=-
a,
a+
b=
0. 0的反向量为
0
OA-
OB=
BA.即“共同起点,指向被
向量的减法
减”
a=(x,y)
b=(x',y') 则
a-
b=(x-x',y-y').
如图:
c=a-b 以
b的结束为起点,a的结束为终点。
数乘
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λ
a,且∣λ
a∣=∣λ∣
·∣
a∣。
当λ>0时,λ
a与
a同方向
当λ<0时,λ
a与
a反方向;
向量的数乘
当λ=0时,λ
a=
0,方向任意。
当
a=
0时,对于任意实数λ,都有λ
a=
0。
注:按定义知,如果λ
a=
0,那么λ=0或
a=
0。
实数λ叫做向量
a的
系数,乘数向量λ
a的几何意义就是将表示向量
a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量
a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍
当∣λ∣<1时,表示向量
a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λ
a)
·b=λ(
a·
b)=(
a·λ
b)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)
a=λ
a+μ
a.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(
a+
b)=λ
a+λ
b.
数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λ
a=λ
b,那么
a=b。② 如果
a≠
0且λ
a=μ
a,那么λ
=μ。
需要注意的是:向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。
数量积
定义:已知两个非零向量
a,b。作
OA=a,OB=b,则角AOB称作向量
a和向量
b的夹角,记作〈
a,b〉并规定0≤〈
a,b〉≤π
定义:两个向量的
数量积(内积、
点积)是一个数量(没有方向),记作
a·b。若
a、
b不共线,则
a·b=|
a|·|
b|·cos〈
a,
b〉(依定义有:cos〈
a,
b〉=
a·b / |a|·|b|);若
a、
b共线,则
a·b=±∣
a∣∣
b∣。
向量的数量积的坐标表示:
a·
b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算律
(λ
a)
·b=
λ(a
·
b
)(关于数乘法的
结合律)
(
a+
b)·
c=
a·
c+
b·
c(
分配律)
向量的数量积的性质
a⊥
b〈=〉
a·
b=0。
|
a·
b|≤|
a|·|
b|。(该公式证明如下:|
a·
b|=|
a|·|
b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|
a·
b|≤|
a|·|
b|)
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1.向量的数量积不满足结合律,即:(
a·
b)·
c≠
a·(
b·
c);例如:(
a·
b)²≠
a²·
b²。
2.向量的数量积不满足消去律,即:由
a·
b=
a·
c(
a≠
0),推不出
b=
c。
3.|
a·
b|与|
a|·|
b|不等价
4.由 |
a|=|
b| ,不能推出
a=b,也不能推出
a=-
b,但反过来则成立。
向量积
定义:两个向量
a和
b的
向量积
向量的几何表示
(外积、叉积)是一个向量,记作
a×
b(这里“×”并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”)。若
a、
b不共线,则
a×
b的模是:∣
a×
b∣=|
a|·|
b|·sin〈
a,
b〉;
a×
b的方向是:垂直于
a和
b,且
a、
b和
a×
b按这个次序构成
右手系。若
a、
b平行,则
a×
b=
0,
a、
b垂直,则
a×
b=|a|*|b|(此处与数量积不同,请注意)。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。
运算法则:运用三阶行列式
设
a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量
A=(x1,y1,z1)B=(x2,y2,z2)则A*B=
a b c
x1 y1 z1
x2 y2 z2
向量的向量积性质:
∣
a×
b∣是以
a和
b为边的平行四边形
面积。
a×
a=
0。
a平行
b〈=〉
a×
b=0
向量的向量积运算律
a×
b=-
b×
a
(λ
a)×
b=λ(
a×
b)=
a×(λ
b)
a×
(b+
c)=
a×b+a×
c.
(a+b)×c=a×c+b×c.
上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。
如:a×(2b)=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的!
注:
向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
三向量的混合积
定义:给定空间三向量
a、
b、
c,向量
a、
b的向量积
a×
b,再和向量
c作数量积(
a×
b)·
c,
向量的混合积
所得的数叫做三向量
a、
b、
c的混合积,记作(
a,
b,
c)或(
a
b
c),即(
a
b
c)=(
a,
b,
c)=(
a×
b)·
c
混合积具有下列性质:
1.三个不共面向量
a、
b、
c的混合积的
绝对值等于以
a、
b、
c为棱的平行六面体的体积V,并且当
a、
b、
c构成右手系时混合积是
正数;当
a、
b、
c构成左手系时,混合积是
负数,即(
a
b
c)=εV(当
a、
b、
c构成
右手系时ε=1;当
a、
b、
c构成左手系时ε=-1)
2.上性质的推论:三向量
a、
b、
c共面的充要条件是(
a
b
c)=0
3.(
a
b
c)=(
b
ca)=(
cab)=-(
ba
c)=-(
cba)=-(
acb)
例题
正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连,L是EH中点,求证LB⊥GK?
设AE=a﹙向量﹚, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'﹙*﹚EH=-a+c+c'+b LB=EH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2, GK=-a'+c'+c+b'从﹙*﹚:﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=……=0. ∴LB⊥GK
二重向量积
由于二重向量叉乘的计算较为复杂,于是直接给出了下列化简公式以及证明过程:
二重向量叉乘化简公式及证明