定义
连续积分是指泛函沿着一类连续轨道的积分。1942年R.P.费因曼从最小作用量原理出发定义路径积分,它给出量子力学的另一种等价的表达形式,后人称为费因曼路径积分,目前它已在量子物理中被愈来愈多地引用。为简单起见,以有限个自由度的量子力学体系为例。通常这种体系的状态用满足薛定谔方程的复值的波函数
Ψ描写。
举例说明
例如,质量为m 的粒子在势能场
V(
x)中的运动,这时
Ψ满足方程
如果用
Ψ(
x,
t;
x0,
t0)表示粒子在
t0时刻处于
x0位置的波函数,那么量子力学的一个基本问题是求出
Ψ (
x,
t)或
Ψ(
x,
t;
x0,
t0)的表达式。
按照经典力学的观点,质量为m的粒子在势能场
V(
x)中运动的拉格朗日函数为设
x(
τ)是一条连续路径,适合条件
x(
τ0)=
x0,
x(
τ)=
x,那么沿着路径的作用量为
费因曼从最小作用量原理出发将波函数
Ψ(
x,
t;
x0,
t0)表示成作用量
S沿着一切可能的连接(
x0,
t0)和(
x,
t)的连续轨道上的积分,即 这里
N 是规范因子。
从数学的角度看,路径积分是没有经过严格定义的概念,最通常的理解是,先将【
t0,
t】进行
n等分,记0≤
j ≤
n。作依次连接(
x
j,
jΔ
t)的折线
x
n(
τ),设作
n重积分
(这里
N
n是规范因子),然后将费因曼积分设想成当
n→∞时上述积分的极限。但因为是随着
n的增大而剧烈振荡的函数,故上述的极限实际上是不存在的。但费因曼积分非常富有启发性,许多物理学家运用这种路径积分及按他们的物理设想所提出的一些计算法则能很好地说明量子物理中的许多问题,例如从量子力学到经典力学的过渡等。同时,在量子场论中也出现了大量的类似的没有严格定义的连续积分。这就向数学家提出了建立路径积分的严格的数学基础的要求。它是泛函积分研究的重要课题之一。近40年中,人们利用解析开拓、广义函数、复值测度和振荡积分等各种手段去进行研究,但至今尚未解决。