【戴德金分割】的意思_什么是戴德金分割

例如,若是由满足的一切正有理数组成,是由一切其余的有理数组成,则既不存在的最大元素,也不存在的最小元素,因为不存在有理数使得.戴德金说;每当我们考虑一个不是由有理数产生的分割时,就得到一个新数即无理数,我们认为这个数是由分割完全确定的.

因此,戴德金就把一切实数组成的集合定义为有理数集的一切分割,而一个实数就是一个分割.
　　在这一定义中,由一个给定的有理数产生的两个实质上等价的分割(视是的最大元素还是的最小元素而定)被看成是同一的.

函数解析

在解析函数中，对实数定义大意是，先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数；

戴德金把这种划分定义为有理数的一个分割，记为（A，B）。因为不存在有理数X使得X的平方等于2，戴德金说，考虑一个不是由有理数产生的分割（A，B）时，就得到一个新数，即无理数a，这个数是由分割（A，B）完全确定的。

因此，戴德金就把一切实数组成的集合R定义为有理数集的一切分割，而一个实数a就是一个分割（A，B）。在这一定义中，由一个给定的有理数r产生的两个实质上等价的分割被看成是同一的。

假设给定某种方法

把 所有的有理数分为两个集合，A和B， A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。

对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立:

A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。 B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数。B是所有≥1的有理数。 A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数，因为平方等于2的数不是有理数。注:：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾。

第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理数。

前面2种情况中，分割是有理数。

这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。

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