【反比例函数】的意思_什么是反比例函数

基本信息

函数定义

一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成

(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k>0时，图像在一、三象限。k<0时，图像在二、四象限.k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。

表达式

x是自变量，y是因变量，y是x的函数

（即：y=kx^-1）

(k为常数且k≠0，x≠0）

若此时比例系数为：

自变量的取值范围

① 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是不等于0的任意实数；②函数 y 的取值范围也是任意非零实数。

解析式

其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数，

即 {x|x≠0,x属于R这个范围。R是实数范围。也就是x是实数}。下面是一些常见的形式：

（k为常数(k≠0），x不等于0）

函数图象

概述

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。

当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.

图象画法

1）列表

x	...	-3	-2	-1	1	2	3	4	...
y	...	-4	-6	-12	12	6	4	3	...

2）在平面直角坐标系中标出点。

3）用平滑的曲线连接点。

当，K>0，Y随X的增大而减小。
当，K<0，Y随X的增大而增大。

当两个数相等时那么曲线呈弯月型。

k的意义及应用

过反比例函数

（

）图像上任意一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积为

。过反比例函数一点，作垂线，三角形的面积为

研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

函数性质

　　单调性

当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；

当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。

k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

相交性

因为在

(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图像不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。

面积

在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k| ，

反比例函数上一点向x 、y 轴分别作垂线，交于、，则QOWM（为原点）的面积为，则连接该矩形的对角线即连接OM,则

RT△OMQ的面积=½|k|

图像表达

反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=±x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

反比例函数图像不与x轴和y轴相交。的渐近线为：x轴与y轴。

k值相等的反比例函数图像重合，k值不相等的反比例函数图像永不相交。

|k|越大，反比例函数的图像离坐标轴的距离越远。

对称性

反比例函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，其对称轴为 y=x和 y=-x；反比例函数图像上的点关于坐标原点对称。

图像关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数

交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

反比例函数关于正比例函数y=±x轴对称,并且关于原点中心对称。

与正比例函数交点

设在平面内有反比例函数和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则反比例减去一次函数为零。

应用举例

例1

反比例函数图像上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的两根双曲线，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．

分析：

要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．

解：∵ m, n是关于t的方程的两根双曲线

∴ m+n=-3，mn=k,

又 m＾2+n＾2=13, m+n=-3;

∴ (m+n)＾2-2mn=13, m+n=-3;

∴ 9-2k=13

∴ 9-2k=13．

∴ k=-2

∴该反比例函数的解析式为y=-2/x.

例2

直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：

（1）求双曲线的解析式

分析：矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，

设A点坐标为（m,n），则AB=|n|, AC=|m|，

根据矩形的面积公式知|m·n|=6.

由已知条件知，该双曲线位于第二、四象限，因此，A点坐标值异号，

即双曲线的解析式为mn=-6.

例3

已知一次函数y=-x+6和反比例函数（k≠0）

（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？

（2）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。

解（1）一次函数y=-x+6和反比例函数

（k不等于零）有两个交点，即

化简的

有两个交点则方程有两个不同的解

即

所以k<9且k不等于0

（2）当0<k<9时两交点在第一象限所以∠AOB是锐角当k<0时两交点分别在第二和第四象限所以∠AOB是钝角

例4

已知函数

（1）当m为何值时，y是x的正比例函数?

（2）当m为何值时，y是x 的反比例函数？

解（1）正比例函数则x次数是1

(m-2)(m+1)=0

m=2,m=-1

系数不等于0

m-1≠0

所以m=2,m=-1

（2）反比例函数则x次数是-1

m(m-1)=0

m=0,m=1

系数不等于0

m-1≠0

所以舍去m=1

因此m=0

例5

一矩形的面积为24

，则该矩形的长x cm与宽y cm之间的关系是什么?请写出函数表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。

解面积xy=24

函数表达式

(x>0)

矩形的各边长均为整数

可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24

知识与概念

概念理解

形如

(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有

，图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图象。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

重点知识

过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
对于双曲线，若在分母上加减任意一个实数(，m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

定

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