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弦切角
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定义
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做
弦切角
。
特征识别
①顶点在圆上;
②一条边与圆周相交,另一条边与圆相切,切点在圆周上;
③弦切角的大小等于它所夹的弧所对的圆周角的大小。
弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的
圆周角
。
推论1:弦切角等于它所夹的弧所对的
圆心角
的一半。
推论2:两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
推论3:弦切角等于它所夹的弧的度数的一半。
弦切角定理的证明:
如图2,AB为圆O的切线,因为BD是直径,所以内接三角形BCD是
直角
三角形,其中∠DCB是直角
所以∠BDC+∠1=90°
又因为∠1 +∠CBA=90°
所以∠CBA=∠BDC.
图2
应用
已知PA为圆O的切线,
A
为切点,
PC
与⊙
O
相交于
B
.
C
两点,求证:PA^2=PB×PC。
证明:∵∠PAB为弦切角
∴∠PAB=∠C
又∵∠P=∠P
∴△PAB∽△PCA
∴PA∶PC=PB∶PA
即PA^2=PC·PB
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- 来自原声例句
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