1)根指的是方程的解
实数根就是指方程式的解为实数
实数根也经常被叫为实根.
2)实数包括正数，负数和0
正数包括：正整数和正分数
实数包括：有理数和无理数
有理数包括：整数和分数
无理数包括：正无理数、负无理数
3）有理数：整数和分数统称为有理数。
无理数：无限不循环小数叫做无理数，具体表示方法为√2、√3。
实数根
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简介
有关定理
定理1
[1
]
n 次多项式f ( x ) 至多有
n 个不同的根
.
数
,或者等于比该变化个数小一个偶数的数
.
定理4
[1
] 每个次数大于0 的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积
.
是
f ( x ) 的一个根
, u ∈
, v ∈ *
,( u , v) = 1
,那么
:
(i
)
v | a0
, u | a
n
;
(ii)
f ( x ) / ( x - u/ v) 是一个整系数多项式.
定理6
(
根的上下界定理
)
[2
] 设
(1
) 式中
a0
> 0
,
是
f ( x ) 的根的一个上界;
2
) 若存在不大于0 的实数
m ,当用
x - m 去对
f ( x ) 作综合除法时第三行数字交替地出现正数
(或
0
) 和负数
(或0
) 时
,那么
m 就是
f ( x ) 的根的一个下界
.
定理7
(
判断根上下界的牛顿法
)
[3
] 设有实数
k ,使
f ( k) , f
′
(k) , *
,f
(m)
( k) , *
f
(n)
( k) 均为非负
数
,或均为非正数,则方程
f ( x ) = 0 的实根都小于
k. 这里
f
(m)
( x ) 表示
f ( x ) 的
m 阶导数
.
定理8
(
判断根上下界的拉格朗日法
)
[3
] 设
(1
) 式中
a0
> 0
,且
a
k 为第一个负系数
,即
a
k
< 0
,且P
i < k , a
i ≥0
, 设
b 是负系数中的最大绝对值,则
f ( x ) = 0 的正根上限为1
+
k
b/ a0
.
(b1
,b2
) 中有
p 个根
,U (b1
) 与
U (b2
) 分别为
f ( x ) 的斯图姆(St urm
) 序列
f 0
(b1
) , f 1
(b1
) , *
,f
s
(b1
) , *
,f
m
(b1
)
与
f 0
(b2
) , f 1
(b2
) , *
,f
s
(b2
) , *
,f
m
(b2
)
的变号的个数
,则
p = U (b1
) - U (b2
) .
= 0 有重根;当
D ( f ) < 0 时
,方程
f ( x ) = 0 无重根
,且有奇数对虚根
;当
D ( f ) > 0 时方程
f ( x ) = 0 无
重根,且有偶数对虚根
.
对
(1
) 式中的
f ( x ) , D ( f ) 定义为
:
D( f ) = (- 1
)
n(n - 1
)/ 2
a
- 1
0
R ( f , f
′
) ,
其中
f
′为
f ( x ) 的导函数
, R ( f , f
′
) 称为
f 和
f
′的结式
,是由
f ( x ) 的各项系数确定的一个2
n - 1 阶方
阵R 的行列式. 如果当
k > n 或
k < 0 时记
a
k
= 0
, 则R 的第
i 行第
j 列的元素为
r
ij
=
a
j - i
, 当1 ≤
i ≤
n - 1
;
(i - j + 1
)a
j+n- i- 1
, 当
n ≤
i ≤2
n - 1 时
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