根据美国宪法,美国国会分参议院和众议院,参议院中各州有等额议席,而众议院“议员名额……将根据各州的人口比例分配”。这就是名额分配问题的缘起。美国宪法于1787年获得通过,1788年生效,但从1790年以来的200多年间,怎样操作才算公正、合理地按这一原则分配好名额,一直是美国政治家以及许多介人其中的科学家研究和争议的问题。人们创立了许多方法,但没有一种方法得到公认。
把这个问题数学化,则可作如下探讨:设美国一共有s个州,众议院一共设有h个议员席位。再设第i州有人口pi(i=1, 2,…, s),则全国总人口有P=p1+p2+…+ps,第i州的人口占全国总人口的比例为 。按上述宪法原则,第i州应有 ·h个议员名额,记为qi= h,,称之为第i州的“份额”,则显然有
q1+q2+…+qs=h。
但是一般地,qi不是整数,而议员名额却必须是整数。怎么办?这就是名额分配问题的症结所在。
用“四舍五入法”或“去尾法”或“进一法”对q‘取整数,都不行,因为这就会出现或者名额不够,或者名额剩余。
既然不能通过简单的对份额取整完成名额分配,问题就成为:在众议院席位数h,州数s,各州人口数pi(i=1, 2, 3,…, s)给定的条件下,求出各州的份额qi(i=1, 2,…, s)后,如何找出相应的一组整数a1,a2,…,as,使得
a1+a2+…+as=h,
让第i州取得a i(i=1, 2, 3,…, s)个议员名额,并且“尽可能地”满足美国宪法所规定的“按人口比例分配”的原则?这就是“名额分配问题”。从数学上说,稍加解释,小学生也可明白,但其求解却难倒了众多的政治家和数学家!