流体流动时服从自然界的一些普遍规律,如质量守恒,动量守恒,能量守恒等。表达这些规律的方程式,称为基本方程式。无粘匀直流流过静止物体时,若流动是亚声速的,从理论上可以证明,流动一定是无旋的,有
速度势ф(
x,
y,
z)存在,在直角坐标系中它与速度的关系为:
式中
vx、
vy、
vz分别为沿
x、
y、
z方向的分速。由于存在速度势ф,可以将运动学和动力学分开,只须求出一个未知函数ф,问题大为简化。下面给出用速度势ф表示的低亚声速流动和亚声速流动的基本方程式:
①低亚声速流动(不可压缩流动) 此时Μ
a≤0.3,可以忽略密度变化,将流动视为不可压缩流动。基本方程为下列拉普拉斯方程:
方程(4)是线性的,可以先找出一些基本解,然后应用解的叠加原理求出满足具体边界条件的解。对于定常流动(见
非定常流动),例如无粘匀直流绕过静止物体的流动,在速度势ф求出后,由式(3)即可求出流场中的速度分布
vx、
vy、
vz。再利用不可压缩流动的伯努利方程(见
伯努利定理),就可求出流场中的压强分布
p(
x,
y,
z)和物面上的压强分布,于是可以很容易地求出物体所受的作用力(例如机翼的举力)。
分析无粘不可压缩流动问题的关键在于根据具体的边界条件,求拉普拉斯方程(4)的解。 对于复杂的物形(边界条件也复杂),例如整架飞机,要用计算机求解。如果物形比较简单,例如大展弦比直机翼(这是低速飞机常用的一种机翼),可用一些近似理论(如
举力线理论、
举力面理论)近似求解。对平面不可压缩
位势流问题,除速度势ф(
x,
y)外,还存在
流函数Ψ(
x,
y),两者的关系为:
式(5)在数学上称为柯西-黎曼条件,在此条件下存在复位势:
w(
x+i
y)=ф(
x,
y)+i
Ψ(
x,
y),式中i=。这样,解具体流动的问题,就化为按具体边界条件求复位势
ω 的问题。利用复变函数理论中的保角变换法,可以较容易地求解条件较复杂的流动问题。
②亚声速流动 无粘匀直流流过静止物体时是
等熵流动,而且存在速度势ф(
x,
y,
z),它服从下述基本方程:
式中
c为当地声速。方程(7)为非线性方程,很难求解,对于低亚声速流动(即不可压缩流动),
c→∞,上式就变成拉普拉斯方程(4)。从物理意义上说,亚声速流动与不可压缩流动在流动特点上没有本质上的不同,就方程而言,式(4)和式(7)都属于椭圆型偏微分方程,所以亚声速流动与不可压缩流动只有量的差别。由于不可压缩流动的理论和实验研究都已取得一定的结果,可根据不可压缩流动这些结果,作一些量的修正,得出相应的亚声速流动的结果。在小扰动条件下的修正方法有
普朗特-格劳厄脱法则,
卡门-钱学森公式等。
方程(7)中所有各项的系数都只是速度的函数(声速
c也可以通过能量方程化为速度的函数),因而对于平面流动在以速度分量
vx、
vy为直角坐标的速度面上,该方程变成线性的,可以应用叠加原理求问题的解。这种方法称为
速度图法。在速度图法中,基本方程是线性化的、简单的。但对具体问题,边界条件却复杂化了,求精确解仍存在很大困难。