一般地, 对于数学对象
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, 我们可定义复数列
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, 形如
L-函数
百科内容来自于：
1. 简介
2. 来源
一般地说,
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-函数来源由两类组成: 算术L-函数和自守L-函数. 这两者又是密切联系在一起的, 根据罗伯特·朗兰兹的猜想, 笼统地说, 一切有意义的L-函数都来自自守L-函数.
2.1 算术L-函数
简单地说,
Dedekind zeta-函数: 设
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为一代数数域，
阿廷L-函数: 设
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是一个有限维的伽罗瓦表示,其中
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为一代数数域,
2.2 自守L-函数
全纯模形式的L-函数, Maass L-函数, 标准L-函数等等.
3. 研究内容
根据罗伯特·朗兰兹在国际数学家大会上的报告所指, 研究一个L-函数主要有三部分内容:
3.1 解析延拓,函数方程
L-函数的解析延拓和函数方程这是最基本的一部分. 对于一般的自守L-函数这是较容易得到的, 但是对算术的L-函数这一部分并不是容易得到的. 例如, 对于Haass-Weil L-函数, 这部分就是谷山-志村猜想, 该猜想一部分就能推出费尔马大定理. 关于阿廷L-函数的全纯解析沿拓的阿廷猜想也是数论中重要的未知问题.
对于数学对象
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的L-函数, 我们定义其的gamma因子为
其中
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为复参数.
定义下面关于
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的完全
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-函数
那么, 一般地我们有函数方程
其中
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为模为1的复数,
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为关于
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的对偶对象.
3.2 零点的分布
非零区域: 如黎曼zeta函数的目前最好的非零区域为
黎曼猜想和广义黎曼猜想问题:
在假设黎曼猜想下, 零点虚部的分布问题与随机矩阵的联系等等.
3.3 特殊点的值
中心值, 临界点, 整点的值, 极点的留数等. 这里面也有很多猜想, 像BSD猜想, 类数问题, Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想. 其实往往我们重要的不仅是关心它具体有多大，而是关心的这个量里面隐含着什么样的算术意义。像Dedekind zeta 函数在s=1处的留数，里面包含了一个数域的很多不变量：类数，判别式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函数在中心点的的阶就是该椭圆曲线的秩！
4. 研究意义
5. 三个公开问题
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