对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的: u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G为任意
函数,分别对应于前进行波,和后退行波。要决定F和G必须考虑两个
初始条件:
u(x,0)=f(x)
u_{,t}(x,0)=g(x)
这样达朗贝尔公式变成了:
u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + \frac \int_^{x+ct} g(s) ds
在经典的意义下,如果f(x) \in C^k并且g(x) \in C^则u(t,x) \in C^k.
一维情况的波动方程可以用如下方法推导:想象一个质量为m的小
质点的队列,互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :
m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= kLINK
其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。