极小曲面 百科内容来自于: 百度百科

简介

极小曲面

极小曲面

平均曲率为零的曲面。平均曲率定义为:其中k1,k2表示两个主曲率。给定一条闭曲线,可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中,有一个面积最小者,这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外,旋转极小曲面都是悬链面,直纹极小曲面都是正螺面。
极小曲面的经典例子包括:
  • 欧几里得平面,无特别约束条件下最平常的极小曲面;
  • 悬链曲面:由悬链线围绕其水平准线旋转而得到的曲面。这是最早发现的“不寻常”的极小曲面。悬链曲面状的皂液膜可以由将两个等大的圆环紧贴放入肥皂水中,拿出后再缓慢分开得到;
  • 螺旋曲面:一个线段沿着垂直于其中点的直线匀速螺旋上升时扫过的曲面。这是继悬链曲面后发现的第二种不寻常的极小曲面;
  • Enneper曲面。

研究

极小曲面

极小曲面

著名的普拉托实验是把围成封闭曲线的金属丝放入肥皂溶液中,然后取出来,由于表面张力的作用,在它上面就蒙有表面积最小的薄膜。这种表面积最小的曲面就是所谓极小曲面,从数学上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。这个问题可以用变分法来解。
从变分学观点看,可以考虑以已知闭曲线 Γ为固定边界的曲面的法向变分。由欧拉-拉格朗日方程(见变分法),对于任何这样的变分,曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率 h呏0。因此,通常就用这个几何条件来定义极小曲面。
在三维欧氏空间 E3中,若一张曲面可用方程z=z(x,y)来表示,则称它为图,或非参数化曲面。由极小条件h=0,E3中极小图的z(x,y)满足下述二阶非线性椭圆型微分方程:
通常称它为 极小曲面方程
二阶非线性椭圆型微分方程

二阶非线性椭圆型微分方程

E3中极小曲面的重要例子有:①极小的可展曲面是平面;②非平面的极小直纹面是正螺面;③悬链面是仅有的极小旋转曲面;④曲率线为平面曲线的极小曲面是恩纳佩尔极小曲面;⑤舍克尔极小曲面是极小的螺旋面,它可以看作具有实母曲线的平移极小曲面。一般地,E3中极小曲面的坐标可表示为等温参数(使曲面第一基本形式中的E=G,F=0的参数)的调和函数。E3中不存在紧致无边界的极小曲面。
极小曲面方程

极小曲面方程

历史上极小曲面的发展是环绕普拉托问题而展开的,这实质上是一个非线性的椭圆型边值问题。早在1930~1931年,T.拉多和J.道格拉斯就各自独立地在广义解的范围内解决了这个问题,他们得到如下的存在性定理:给定任一可求长的空间若尔当闭曲线 Γ,总存在一张以 Γ为边界的广义极小曲面。这里可能有孤立的分支点,在分支点处曲面不是浸入。直到1970年,R.奥斯曼才证明了拉多和道格拉斯的解是处处内部正则的,即不会有分支点。后来丘成桐等又解决了何时浸入化为嵌入的问题。
除了这类存在性问题外,还有不少属于惟一性方面的问题,其中最著名的是伯恩斯坦定理: E3中完备的极小图必是平面。
正如用导数来确定函数的极值一样,面积泛函的第一变分为零只是面积最小的必要条件,要进一步确定最小面积的曲面,还必须考虑第二变分。在任何法向变分下,使面积泛函的第二变分恒非负的极小曲面称为稳定极小曲面。E3中极小图是稳定的。因此,从伯恩斯坦定理自然产生这样的猜想:E3中完备的稳定极小曲面是平面。这个命题已被D.菲舍尔-科尔布里和 R.舍恩所证明,稍后,M.杜卡莫和彭家贵一起也独立地予以证明。
极小曲面公式

极小曲面公式

对于伯恩斯坦定理在高维空间的推广,人们很早就提出这样的问题:设是En的完备极小
极小曲面

极小曲面

超曲面,那么函数z(x1,x2,…,xn)是否必是线性的?1965年,E.迪乔吉证明 n=3是对的;1966年,F.J.阿姆格伦证明 n=4也是对的。1967年,J.西蒙斯证明当 n≤7时,都是对的。出乎意料的是,E.邦别里、E.迪乔吉和E.朱斯蒂在1968年联合证得, n=8时,就是不对的。因此,这是一个十分有趣的问题。  关于极小曲面及其在高维流形的推广,陈省身、项武义、丘成桐等都作出了重要贡献。

同名图书

图书信息

书 名:极小曲面
作 者:陈维桓
出版时间:2011-5-1
I S B N:9787561161463
页 数:175
开 本:32开
定 价:25.00元

内容简介

陈维桓所著的《极小曲面》的目的是介绍3维欧氏空间中极小曲面的概念、典型例子和性质,以及一些基本问题和进展。我们假定具备初等微积分的知识的读者,能够读懂本书的大部分,因此我们对曲面的微分几何只是做了简要的介绍,对所引用的定理大多做了准确的叙述。为了便于读者能够进一步钻研感兴趣的课题,在书后列出了有关的参考文献。我们力求使本书的叙述明白易懂,生动流畅,并注意科学性。

作者简介

陈维桓,北京大学数学科学学院教授,博士生导师。1964年毕业于北京大学数学力学系,后师从吴光磊教授读研究生。1980年起长期从事和主持北京大学微分几何方向的研究工作和教学工作,直到2003年在北京大学退休。在著名学术期刊上发表各种研究论文近50篇;出版著作有:《微分几何讲义》(与陈省身合著),《黎曼几何选讲》(与伍鸿熙合著),《微分几何初步》,《微分几何》,《黎曼几何引论》(上、下册,与李兴校合著)(以上均为北京大学出版社出版);《微分流形初步》,《微分几何例题详解和习题汇编》,以及《流形上的微积分》(以上均为高等教育出版社出版)。

图书目录

编写说明
作者前传
一 肥皂膜实验
二 极小曲面方程
三 曲面的面积
四 曲面的曲率
五 再论极小曲面方程
六 极小曲面的Weierstrass公式
七 经典极小曲面的Weierstrass表示
八 极小曲面的一般性质
九 Plateau问题
十 极小曲面的Bernstein定理
十一 完备嵌入极小曲面的新例子
结束语
参考文献
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