【映射定理】的意思_什么是映射定理

我们需要证明，如果 A : X → Y是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么 A就是一个开映射。为此，只需证明 A把 X内的单位球映射到 Y的原点的一个邻域。

设 U， V分别为 X和 Y内的单位球。那么 X是单位球的倍数 k U的序列的交集， k ∈ N，且由于 A是满射，

根据贝尔纲定理，巴拿赫空间 Y不能是可数个无处稠密集的并集，故存在 k > 0，使得 A( kU)的闭包具有非空的内部。因此，存在一个开球 B( c, r)，其中心为 c，半径 r > 0，包含在 A( kU)的闭包内。如果 v ∈ V，那么 c + r v和 c位于 B( c, r)内，因此是 A( k U)的极限点，根据加法的连续性，它们的差 rv是 A( k U) − A( k U) ⊂ A(2 k U)的极限点。根据 A的线性，这意味着任何 v ∈ V都位于 A( δ U)的闭包内，其中 δ = r / (2 k)。于是可以推出，对于任何 y ∈ Y和任何 ε > 0，都存在某个 x ∈ X，满足：

<IMG class=tex alt="\ ||x||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y - Ax||

固定 y ∈ δ V。根据(1)，存在某个 x 1，满足|| x 1|| < 1且|| y − A x 1|| < δ / 2。定义序列{ x n}如下。假设：

<IMG class=tex alt="\ ||x_{n}||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n)||

根据(1)，我们可以选择 x n +1，使得：

<IMG class=tex alt="\ ||x_{n+1}||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n) - A(x_{n+1})||

因此 x n +1满足(2)。设

从(2)的第一个不等式可知，{ s n}是一个柯西序列，且由于 X是完备的， s n收敛于某个 x ∈ X。根据(2)，序列 A s n趋于 y，因此根据 A的连续性，有 A x = y。而且：

<IMG class=tex alt="||x||=\lim_{n \rightarrow \infty} ||s_n|| \leq \sum_{n=1}^\infty ||x_n||

这表明每一个 y ∈ δ V都属于 A(2 U)，或等价地， X内的单位球的像 A( U)包含了 Y内的开球( δ / 2) V。因此， A( U)是 Y内0的邻域，定理得证。

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