动力系统研究随时间演变的系统的一门分支学科，又称动力学系统、动态系统。它的研究对象是一系统的所有可能状态构成的状态空间R,以及由R 中的变换组成的演变规律 φt： R →R (－∞＜t＜∞)

这意味着系统的某一状态x(可写作x∈R)在时刻t遵循这一规律演变为状态 φt(x)。演变规律一般需满足下述三个条件，即：①

(其中dist表示M上一拓扑度量)都将是M中的C浸入子微分流形，分别称为Q 的稳定流形和非稳定流形。

曾经有一种推测认为,S 结构稳定,当且仅当它满足①公理A:S 在非游荡集Ω(S)上有双曲构造，且Ω(S)有由奇点和周期轨道构成的稠密子集；②强匀断条件：若Q1和Q2是S 的轨道嶅Ω(S)，则W-(Q1)与W+(Q2)恒匀断相交，这意味着W-(Q1)和W+(Q2)在任一x∈W-(Q1)∩W+(Q2) 处的切空间张开成M在x处的切空间。这一推测是前述2维特征性定理的推广形式，它的充分性部分早已由C.鲁宾孙验证。关于必要性部分的证明主要须证明S在Ω(S)上有双曲构造，目前尚只在低维情况下有部分答案。

另一种重要的稳定性是所谓Ω稳定性。S 叫做Ω稳定的，如果它在X(M)中有一邻域Δ，使得只要X∈Δ，即有从Ω(S)到Ω(X)上的拓扑变换，把S在Ω(S)中的轨道映到X的轨道。若S是Ω稳定的,则它是否在Ω(S)上有双曲构造，这个问题也还只有部分答案。显然，结构稳定蕴涵Ω稳定。若n≥3，X(M)一般也没有由Ω稳定系统组成的稠密子集。

关于这方面的研究，一个有用的工具可能是所谓联系于X∈X(M)的阻碍集Ob(X)。例如,s满足公理A和强匀断条件，当且仅当I(S)∪Ob(S)是空集,其中I(S)表示S的奇点集合在M中的内集。若Ob(S)非空,则存在关于S的极小歧变集。

离散系统设Diff(M)是M上由所有C微分同胚组成的集合,取C拓扑。对于f∈Diff(M)所产生的离散系统，可以与常微系统情况相平行地引入一些概念。例如f过一点x∈M的轨道是{f(x)|p＝0,±1,±2,…}。如果f在Diff(M)中有一邻域K，使得只要g∈K，就一定可找到一拓扑变换η:M→M满足ηf=gη,则称f为结构稳定的。

文献上先出现有关微分同胚所产生的离散系统的论述，然后再扩充到常微系统，这种情况是颇为常见的。例如上述关于结构稳定的推测原是帕利斯和S.斯梅尔先就微分同胚提出，其充分性的验证也是J.罗宾先就C微分同胚给出，然后经他人推广到常微系统。但用扭扩办法，从有关常微系统的成果也常可直接导至离散系统的成果，把后者作为前者的特例来处理。关于离散系统的研究也已延伸至半离散系统。

进展在微分动力系统的研究中，关心的是系统的性质（主要是整体性质）及其在扰动中的变化。在研究结构稳定与Ω稳定的同时,人们发现s∈X(M)的相图不仅可能很复杂，而且在扰动中又可能变化多端，不管是随机的还是确定性的，当S 有一邻域不含有任何Ω稳定系统时，更显得有此可能。这反映了自然界的一些混沌现象，因而受到关注。因此,从洛伦茨方程到吕埃尔-泰肯引进奇异吸引子概念，从费根鲍姆常数到倍周期分岔等一系列成果，推动了这个领域中计算机仿真、科学实验和数学论证三方面相结合的研究。

70年代末以来，中国科学家钱学森致力于系统学和系统科学体系的建立。微分动力系统的理论成果可以为这一体系的形成作出贡献。作为系统科学的一部分，微分动力系统这一数学分支须考察怎样和其他部分相配合。在这方面微分动力系统尚处于亟待发展的阶段。

参考书目

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Liao Shantao，Standard systems of differential equations and obstruction sets with applications to structural stability problems, in Proceedings of the 1983Beijing Symposium on Differentiaal Geometry and Differential Equations, Science Press, Beijing,1986.

G.I.Barenblatt，G.Iooss and D.D.Joseph(eds), Non-linear Dynamics and Turbulence, Pitman, Boston-London-Melbourne,1983.