柯西-黎曼方程
一些实际问题也推动着复变函数理论的产生与发展。早在1752年J.le R.达朗贝尔关于
流体阻力的
研究中,便考虑在什么条件下当平面上的点(
x,
y)趋于一点时复值函数
u(
x,
y)+i
v(
x,
y)存在
导数。这里要求导数与(
x,
y)所沿的路径无关。这个问题的答案是:若
?(
z)=
u+i
v在域
D内定义,且
u,
v作为
x,
y的函数在
D内可微,则
?(
z)可导的充要条件为:式(1)
式(1)
。
19世纪前半叶,
柯西为复变函数理论的建立奠定了基础。他定义了复变函数的积分,并证明了下述
柯西积分定理:若
?(
z)在区域
D内解析,
C为可求长的
简单闭曲线,且
C及其内部均含于
D内,则有式(2)
式(2)
。
柯西积分定理
黎曼映射定理
从
几何观点看,定义在域
D内的一个
解析函数w=
?(
z),把
D映为
w平面上的一个区域。这样的映射具有保持角度的
性质,所以称为
保角映射,又称
共形映射。19世纪中叶,黎曼对此作了很多
研究。他首先提出了如下的原理(狄利克雷原理):在
简单闭曲线C上给了一个
连续函数φ,则必存在于
C内调和且连续到
C上的函数
u,
u在
C上的值与
φ相同。在此基础上,黎曼得出
共形映射的基本定理:若
单连通域
D的边界多于一点,
z0为
D内一点且
θ0为一实数,则存在惟一的单叶
解析函数w=
?(
z)将
D映为
w 平面上的单位圆│
w│<1,且满足
?(
z0)=0,
?′(
z0)>0。
幂级数的作用
式 (3)
的
收敛半径R为有穷
正数,则
?(
z)在
Γ:│
z│<
R内解析而在圆周│
z│=
R上
?(
z)至少有一个奇点
z0,即不存在以
z0为心的圆у和在у内解析的函数
g(
z),使在
Γ与у的交内有
g(
z)=
?(
z)。 当│
z│=
R上所有的点都是
?(
z)的奇点时,
?(
z)就不能从
Γ内解析开拓出去,这时|
z|=
R称为
?(
z)的自然边界。关于收敛圆周上的奇点及自然边界的
研究,J.(-S.)阿达马、S.曼德尔勃罗伊及G.波伊亚等人均有很好的工作。 若│
z│=
R上的点
z0不是
?(
z)的奇点,则
?(
z)可以经过
z0利用
幂级数开拓到│
z│=
R 以外的部分。从
幂级数(2)出发,向各个方向尽量进行解析开拓,所得的全体幂级数构成一个集合。这个集合定义了一个完全
解析函数。关于完全解析函数,(J.-)H·庞加莱和V·沃尔泰拉等人有重要工作。
综述
总之,复变函数的主要
研究对象是
解析函数,包括
单值函数、
多值函数以及几何理论三大部分。在悠久的历史进程中,经过许多学者的努力,使得复变函数论获得了巨大发展,并且形成了一些专门的
研究领域。
单值函数
单值函数中最基本的两
类函数是
整函数和
亚纯函数,它们分别是
多项式和有理函数的发展。外尔斯特拉斯将
多项式的
因式分解定理推广到
整函数,而G.米塔-列夫勒则将有理函数分解为
部分分式的定理推广到
亚纯函数。(C.-)é.皮卡、(F.-é.-J.-) é.波莱尔等进一步发现了
整函数的取值与
多项式的取值之间有着很大的相似性。在此基础上,1925年R.奈望林纳建立了
亚纯函数值分布的近代理论,对函数论的发展产生了重要影响。它和复变函数论的其他领域也存在着密切联系。例如,1973年A.伯恩斯坦应用实变函数的思想引进
T^*函数,它在值分布论的亏量问题、
整函数的最小模问题以及
单叶函数的
研究中都发挥了显著效用。
多值函数
关于多值函数的
研究主要是围绕着
黎曼曲面及
单值化的问题来进行的。1913年(C.H.)H.外尔在其经典著作《
黎曼曲面概念》中首先给出了抽象黎曼曲面的定义,它是流形这个现代数学基本概念的雏形。
黎曼曲面的
研究不仅使自身形成了完美的理论,而且它为代数几何、自守函数、
复流形、
代数数论等近代数学重要分支的研究提供了简单、明了的模型。
复变函数
几何理论
在复变函数的应用上,
共形映射具有重要的地位。H.E.茹科夫斯基通过
共形映射研究绕机翼的流动便是著名的例子。实际应用中,常常要借助近似方法具体地构造出映射函数。这方面有不少
研究工作。当然,有时并不需要知道具体的映射函数,只是应用其几何
性质。这就推动了复变函数几何理论的发展。
单叶函数的
研究是复变函数
几何理论的一个重要组成部分,特别是1916年L.比伯巴赫提出的
单位圆内形如式(4)
式(4)
的单叶
解析函数应有 |
αn|≤
n的猜测引起了许多学者的注意。近70年来,围绕着比伯巴赫猜想曾有不少
研究工作,但是直到1984年,布朗基才完全证实了这个猜想。证明中主要应用了莱伯德-米林的工作,C.勒夫纳的参数表示法以及关于雅可比多项式的结果。
柯西-黎曼方程表明了
解析函数与
椭圆型偏微分方程组之间的联系,20世纪50年代以来L.伯斯,И.Η.韦夸等考虑较为一般的椭圆型偏微分方程组,并引入广义解析函数的概念。
解析函数决定的映射为
共形映射,它把无穷小圆映为无穷小圆;而广义解析函数则决定了
拟共形映射,它把无穷小圆映为无穷小椭圆。L.V.阿尔福斯,М.Α.拉夫连季耶夫为
拟共形映射的理论奠定了基础。
聚集合的概念
解析函数虽然在区域内部有很好的
性质,但是当自变量
z趋向于边界时,函数的变化情况常常十分复杂。关于这方面的
研究就形成了一个专门的领域,称为
解析函数边界性质。经典的结果有法图定理,Η.Η.卢津和И.И.普里瓦洛夫在这方面也有系统的
研究。出现了聚集合的概念,进一步将
研究引向深入。