古代学者就已开始着手改善《几何原本》中所陈述的那个欧氏几何公理系统.古希腊数学家、力学家阿基米德（Archimedes)就曾为了严格陈述关于长度、面积和体积的测量理 论而扩充过欧几里得的公设表.人所共知的阿基米 德公设便是其中一例.

直到19世纪末期，人们才第一次给出了一个完备的公理系统.从这个公理系统出发，能够不依靠任何空间观 念的直观而推出欧氏几何的所有定理.这一公理系统的构造成功应归功于德国数学家希尔伯特 (Hilbert,D.).他的这个欧几里得几何公理系统于1899年首次发表，并由此而激起了人们对欧几里得 几何基础的广泛关注.他的《几何基础》不仅解决了如何用公理化方法研究几何学的基础问题，还把公 理化方法推向了完善化阶段，以致使该书成为近代 公理化思想方法的代表作.而公理化方法又有力地推动着数学基础的研究与探索.

19世纪的俄国年轻数学家罗巴切夫斯基产生了与前人完全不同的信念:他认为第五公设不能从其余的几何公理中推演 出来，欧氏几何不是惟一的真实.于是罗巴切夫斯基在欧氏几何公理系统中剔除第五公设，却同时加进 一个相反于第五公设的公理过平面上一已知直线 外的一点，至少可以引两条直线与该已知直线不相 交.人们称之为“罗氏公设“因此构造出一个新的 几何系统，称为罗巴切夫斯基几何系统。

直到19世纪末叶，法国数学家庞加莱(Poincare,(J.-)H.)率先在欧氏几何系统中构造了 一个罗氏几何模型，就是在欧氏几何系统中选取三类几何对象，分别称为罗氏平面、罗氏直线、罗氏点， 亦即分别作为罗氏几何元素“平面、直线、点”的解 释，然后再去验证所选的这些几何对象之间的关系 能以满足罗氏几何系统的每一条公理的要求.

法国数学家笛卡儿（Descartes，R.)所创建之解析几何的启发，终于在实数系统中构造了一个欧氏几何系统的模型.这 样，只要假定实数系统是无矛盾的，则欧氏几何与罗氏几何都是相容的.并由此可以进一步得出结论:第 五公设是不可能从其他公设、公理中作为定理而被证明，否则罗氏几何系统中将有第五公设与罗氏公 设并存而成为矛盾系统了.因而相对于实数系统为 相容系统而言，第五公设问题已获得了明确的答案. 但实数系统究竟相容与否，最终又要归结到作为整 个经典数学之理论基础的集合论的相容性问题.还 应指出，当时年仅21岁的匈牙利数学家波尔约 (Bolyai，J)和德国数学家髙斯（Gauss，G.F.)也不约而同地发现了新几何的存在。