代数拓扑的经典应用包括:
▲Brouwer
不动点定理:每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。
▲n维球面可以有一个无处为0的连续
单位向量场
当且仅当n是奇数。(对于n=2,这有时被称为"毛球定理"。)
▲Borsuk-Ulam定理:任何从n维球面到欧氏
n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。
▲任何自由群的子群是自由的。这个结果很有意思,因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的。也就是说,任何自由群G可以实现为图X的
基本群。覆盖空间的主定理告诉我们每个G的子群H是某个X的覆盖空间Y的
基本群;但是每个这样的Y又是一个图。所以其
基本群H是自由的。
代数拓扑中最著名的几何问题是
庞加莱猜想。它已经由Hamilton,Grigori Perelman等数学家们解决(
庞加莱定理)。
同伦理论领域包含了很多悬疑,最著名的有表述球面的同伦群的正确方式。