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韦达最重要的贡献是对代数学的推进,他最早系统地引入代数符号,推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号,用字母代替未知数,系统阐述并改良了三、四次方程的解法,指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》。

人物简介

弗朗索瓦·韦达法语:Viete,Francois,seigneurdeLa Bigotiere;1540年1603年12月13日),法国数学家,十六世纪最有影响的数学家之一,被尊称为“代数学之父”。他是第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了改进的数学家。
韦达 韦达
由于韦达做出了许多重要贡献,成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。
韦达1540年生于法国的普瓦图[Poitou, 今旺代省的丰特奈 -勒孔特(Fontenay.-le-Comte)]。1603年12月13日卒于巴黎。年轻时学习法律并当过律师。后从事政治活动,当过议会的议员。在对西班牙的战争中,曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)。
韦达从事数学研究只是出于爱好,然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》(1579年)是韦达最早的数学专著之一,可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术",初步讨论了正弦,余弦,正切弦的一般公式,首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程,具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。

著作

《分析方法入门》

《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作,也是最早的符号代数专著,书中第1章应
一元二次方程 一元二次方程
用了两种希腊文献:帕波斯的《数学文集》第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来,认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧,并自信希腊数学家已经应用了这种分析术,他只不过将这种分析方法重新组织。韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想,试图创立一般的符号代数。他引入字母来表示量,用辅音字母B,C,D等表示已知量,用元音字母A(后来用过N)等表示未知量x,而用A quadratus,A cubus 表示 x2、x3 ,并将这种代数称为本“类的运算”以此区别于用来确定数目的“数的运算”。当韦达提出类的运算与数的运算的区别时,就已规定了代数与算术的分界。这样,代数就成为研究一般的类和方程的学问,这种革新被认为是数学史上的重要进步,它为代数学的发展开辟了道路,因此韦达被西方称为"代数学之父"。

《分析五章》

1593年,韦达又出版了另一部代数学专著—《分析五篇》(5卷,约1591年完成);《论方程的识别与订正》是韦达逝世后由他的朋友A.安德森在巴黎出版的,但早在1591年业已完成。其中得到一系列有关方程变换的公式,给出了G.卡尔达诺三次方程和L.费拉里四次方程解法改进后的求解公式。
在《分析五篇》中韦达还说明怎样用直尺圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解。

《几何补篇》

1593年他的《几何补篇》(Supplementum geometriae)在图尔出版了,其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识。

其他成就

此外,韦达最早明确给出有关圆周率π值的无穷运算式,而且创造了一套10进分数表示法,促进了记数法的改革。之后,韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承,发展成为解析几何学。韦达从某个方面讲,又是几何学方面的权威,他通过393416个边的多边形计算出圆周率,精确到小数点后9位,在相当长的时间里处于世界领先地位。
韦达还专门写了一篇论文"截角术",初步讨论了正弦,余弦,正切弦的一般公式,首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程,具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
韦达还探讨了代数方程数值解的问题,1600年以《幂的数值解法》为题出版。

韦达定理

韦达定理(Vieta's Theorem)的内容

(根与系数的关系)
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且b^2-4ac≥0)中
设两个实数根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
用韦达定理判断方程的根
若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac<0 则方程没有实数解

韦达定理的证明

一元二次方程求根公式为:
当方程有实数根时
x=(-b±√b^2-4ac)/2a
则x1=(-b+√b^2-4ac)/2a,x2=(-b-√b^2-4ac)/2a
x1+x2=(-b+√b^2-4ac/2a)+(-b-√b^2-4ac/2a)
x1+x2=-b/a
x1*x2=(-b+√b^2-4ac/2a)*(-b-√b^2-4ac/2a)
x1*x2=c/a
韦达定理
判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理。

韦达定理的推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,Π是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是,那么
由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

韦达定理推广的证明

设x1,x2,……,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)
通过系数对比可得:
A(n-1)=-An(∑xi)
A(n-2)=An(∑xixj)
A0==(-1)^n*An*ΠXi
所以:∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,Π是求积。

经典例题

例1 已知p+q=198,求方程x^2+px+q=0的整数根.
(94祖冲之杯数学邀请赛试题)
解:设方程的两整数根为x1、x2,不妨设x1≤x2.由韦达定理,得
x1+x2=-p,x1x2=q.
于是x1·x2-(x1+x2)=p+q=198,
即x1·x2-x1-x2+1=199.
∴(x1-1)·(x2-1)=199.
注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数,
解得x1=2,x2=200;x1=-198,x2=0.
例2 已知关于x的方程x^2-(12-m)x+m-1=0的两个根都是正整数,求m的值.
解:设方程的两个正整数根为x1、x2,且不妨设x1≤x2.由韦达定理得
x1+x2=12-m,x1x2=m-1.
于是x1x2+x1+x2=11,
即(x1+1)(x2+1)=12.
∵x1、x2为正整数,
解得x1=1,x2=5;x1=2,x2=3.
故有m=6或7.
例3 求实数k,使得方程k(x^2)+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.
解:若k=0,得x=1,即k=0符合要求.
若k≠0,设二次方程的两个整数根为x1、x2,且X1≤X2,由韦达定理得
∴x1x2-x1-x2=2,
(x1-1)(x2-1)=3.
因为x1-1、x2-1均为整数,
所以X1=2,X2=4;X1=—2,X2=0.
所以k=1,或k=-1/7
例4 已知二次函数y=-x^2+px+q的图像与x轴交于(α,0)、(β,0)两点,且α>1>β,求证:p+q>1.
(97四川省初中数学竞赛试题)
证明:由题意,可知方程-x2+px+q=0的两根为α、β.由韦达定理得
α+β=p,αβ=-q.
于是p+q=α+β-αβ,
=-(αβ-α-β+1)+1
=-(α-1)(β-1)+1>1(因α>1>β).
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- 来自原声例句
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