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卡尔·雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi,1804~1851),德国数学家。1804年12月10日生于普鲁士的波茨坦;1851年2月18日卒于柏林。雅可比是数学史上最勤奋的学者之一,与欧拉一样也是一位在数学上多产的数学家,是被广泛承认的历史上最伟大的数学家之一。雅可比善于处理各种繁复的代数问题,在纯粹数学和应用数学上都有非凡的贡献,他所理解的数学有一种强烈的柏拉图式的格调,其数学成就对后人影响颇为深远。在他逝世后,狄利克雷称他为拉格朗日以来德国科学院成员中最卓越的数学家。

人物生平

雅可比出生于一个富裕的犹太人家庭,其父是银行家。雅可比自幼聪明,幼年随他舅舅学习样丁文和数学。1816年11月进入波茨坦大学预科学习,1821年春毕业。当时他的希腊语、拉丁语和历史的成绩都很优异;尤其在数学方面,他掌握的知识远远超过学校所教授的内容。他还自学了L.欧拉的《无穷小分析引论》,并且试图解五次代数方程。
1821年4月雅可比入柏林大学,开始两年的学习生活,他对哲学、古典文学和数学都颇有兴趣。该校的校长评价说,从一开始雅可比就显示出他是一个“全才”。像高斯一样,要不是数学强烈吸引着他,他很可能在语言上取得很高成就。雅可比最后还是决定全力投身数学。1825年,他获得柏林大学理学博士学位。之后,留校任教。1825年到1826年冬季,他主讲关于三维空间曲线和曲面的解析理论课程。年仅21岁的雅可比善于
雅可比 雅可比
将自己的观点贯穿在教学之中,启发学习独立思考,是当时最吸引人的数学教师,他的成功引起普鲁士教育部的注意。
1826年5月,雅可比到柯尼斯堡大学任教,在柯尼斯堡大学的18年间,雅可比不知疲倦地工作着,在科学研究和教学上都做出惊人的成绩。他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家N.H.阿贝尔相互独立地奠定了椭圆函数论的基础,引入并研究了θ 函数和其他一些超越函数。这些工作使法国数学家A.-M.勒让德在这一领域的工作黯然失色。但无私的勒让德赞扬和支持他和阿贝尔的工作。他对阿贝尔函数也作了研究,还发现了超椭圆函数。他对椭圆函数理论的透彻研究在数学界引起轰动,从而与N.H.阿贝尔齐名。雅可比在椭圆函数理论、数学分析、数论、几何学、力学方面的主要论文都发表在克雷勒的《纯粹和应用数学》杂志上,平均每期有三篇雅可比的文章。这使得他很快获得国际声誉。当时,他同数学家贝塞尔、物理学家F.诺伊曼三人成为德国数学复兴的核心。 1827年12月被任命为副教授,1832年7月为教授。1827年被选为柏林科学院院士。他还是伦敦皇家学会会员,还是彼得堡、维也纳、巴黎、马德里等科学院院士。1842年由于健康不佳而退隐,定居柏林。1844年起接受普鲁士国王的津贴,在柏林大学任教。1848年革命期间,由于在一次即席演讲中得罪了王室而失去了津贴。当维也纳大学决定聘请他当教授时,普鲁士当局才意识到他的离开会造成的损失,因而恢复了他的待遇。
1851年初雅可比在患流行性感冒还未痊愈时,又得了天花,不久去世.他的密友P.G.L.狄利克雷在柏林科学家发表纪念讲话,总结了他在数学上的杰出贡献,称他为J.L.拉格朗日以来科学院成员中最卓越的数学家。
现代数学许多定理、公式和函数恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式以及许多数学符号都冠以雅可比的名字,可见雅可比的成就对后人影响之深。1881——1891年普鲁士科学院陆续出版了由C.W.博尔夏特等人编辑的七卷《雅可比全集》和增补集,这是雅可比留给世界数学界的珍贵遗产。

主要成就

雅可比在数学上做出了重大贡献。他几乎与阿贝尔(Abel,Niels Henrik,1802.8.5-1829.4.6)同时各自独立地发现了椭圆函数,是椭圆函数理论的奠基人。1827年雅可比从陀螺的旋转问题入手,开始对椭圆函数进行研究。1827年6月在《天文报告》(Astronomische Nachrichten)上发表了《关于椭圆函数变换理论的某些结果》。1829年发表了《椭圆函数基本新理论》(Fundamenta Nova Theoeiae Functionum Ellipticarum),成为椭圆函数的一本关键性著作。书中利用椭圆积分的反函数研究椭圆函数,这是一个关键性的进展。他还把椭圆函数理论建立在被称为θ函数这一辅助函数的基础上。他引进了四个θ函数,然后利用这些函数构造出椭圆函数的最简单的因素。他还得到θ函数的各种无穷级数和无穷乘积的表示法。1832年雅可比发现反演可以借助于多于一个变量的函数来完成。于是p个变量的阿贝尔函数论产生了,并成为19世纪数学的一个重要课题。1835年雅可比证明了单变量的一个单值函数,如果对于自变量的每一个有穷值具有有理函数的特性(即为一个亚纯函数),它就不可能有多于两个周期,且周期的比必须是一个非实数。这个发现开辟了一个新的研究方向,即找出所有的双周期函数的问题。椭圆函数理论在19世纪数学领域中占有十分重要的地位。它为发现和改进复变函数理论中的一般定理创造了有利条件。如果没有椭圆函数理论中的一些特例为复变函数理论提供那么多的线索,那么复变函数理论的发展就会慢得多。
雅可比在函数行列式方面有一篇著名的论文:《论行列式的形成与性质》(1841)。文中求出了函数行列式的导数公式;还利用函数行列式作工具证明了,函数之间相关或无关的条件是雅克比行列式等于零或不等于零。他又给出了雅可比行列式的乘积定理。
雅可比在分析力学、动力学以及数学物理方面也有贡献。C.马克劳林、P.-S.拉普拉斯和J.-L.拉格朗日等曾得到这样的结论:当均匀流体取旋转椭球体的形状且绕旋转轴转动时,形状不会改变。雅可比进一步发现:即使流体形状是一般的椭球体,也满足平衡条件。他深入研究了哈密尔顿(Hamilton,William Rowan,1805.8-1865.9)典型方程,经过引入广义坐标变换后得到一阶偏微分方程,称为哈密尔顿雅可比微分方程。他还发展了这些方程的积分理论,并用这一理论解决了力学和天文学的一些问题。值得一提的是,在表述经典力学的各种理论中唯有哈密顿-雅可比理论可用于量子力学。另外,雅可比还找到了恰当表达P.-L.M.de 马保梯的最小作用量原理的数学形式,建立了雅可比运动方程。他在偏微分方程和分析力学方面的大部分工作,收在他的著作《动力学讲义》中。书中还探讨过一个椭球体上的侧地线,从而导致了两个阿贝尔积分之间的关系。这样促进了常微分方程组和一阶偏微分方程组的研究的进展。
雅可比第一个将椭圆函数理论应用于数论研究。他在1827年的论文中已做了一些工作,后来又用椭圆函数理论得到同余式和型的理论中的一些结果,他曾给出过二次互反律的证明,还陈述过三次互反律并给出了证明。
雅可比对数学史的研究也感兴趣。1846年1月做过关于R.笛卡尔(Descartes,Rence,1596.3.31-1650.2.11)的通俗演讲,对古希腊数学也做过研究和评论。1840年他制订了出版欧拉著作的计划(因欧拉的孙子发现欧拉有许多文章未发表) 。
另外他在发散级数理论、变分法中的二阶变分问题、线性代数和天文学等方面均有创见。他的工作还包括代数学、变分法、复变函数论和微分方程,以及数学史的研究。将不同的数学分支连通起来是他的研究特色。他不仅把椭圆函数论引进数论研究中,得到了同余论和型的理论的一些结果,还引进到积分理论中。而积分理论的研究又同微分方程的研究相关联。此外,尾乘式原理也是他提出的。
现在数学中的许多定理、公式和函数恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式及多种数学符号的名称都冠以雅克比的名字。1881—1891年普鲁士科学院陆续出版了由C.W.博尔夏特(Borchardt)等人编辑的七卷《雅可比全集》和增补集,这是雅可比留给世界数学界的珍贵遗产。

雅可比行列式

雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian)它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式 。事实上,在函数都连续可微(即偏导数都连续)的前提之下,它就是函数组的微分形式下的系数矩阵(即雅可比矩阵)的行列式。 若因变量自变量连续可微,而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。这可用行列式的乘法法则偏导数的连锁法则直接验证。也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式;这常用于重积分的计算中。如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零,它就处处为正或者处处为负。如果雅可比行列式恒等于零,则函数组是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。

雅可比矩阵

雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian)它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式 。事实上,在函数都连续可微(即偏导数都连续)的前提之下,它就是函数组的微分形式下的系数矩阵(即雅可比矩阵)的行列式。 若因变量自变量连续可微,而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。这可用行列式的乘法法则偏导数的连锁法则直接验证。也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式;这常用于重积分的计算中。如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零,它就处处为正或者处处为负。如果雅可比行列式恒等于零,则函数组是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。
在向量微积分中,雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵,其行列式称为雅可比行列式。还有,在代数几何中,代数曲线的雅可比量表示雅可比簇:伴随该曲线的一个群簇,曲线可以嵌入其中。它们全部都以数学家雅可比命名;英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此,雅可比矩阵类似于多元函数的导数。雅可比矩阵定义为向量对向量的微分矩阵。
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