连续统 百科内容来自于: 百度百科

连续统是一个数学概念。当人们笼统地说:“在实数集里实数可以连续变动”,也就可以说实数集是个连续统;更严格的描述需要使用序理论、拓扑学等数学工具。这里的连续是相对于离散的概念而言的。在不讨论精确的定义前,有时人们也会谈到一个量可以在某范围内连续取值,或者说该量的变化范围是一个连续统。在数学上,连续统这一术语至少有两种精确定义,但并不等价。另外,连续统一词有时即指实数线或者实数集,这是较旧的叫法;见连续统假设。

概念

连续统在数序中的定义:与区间(0,1)对等的集合就叫做连续统,什么叫做对等呢,就是找到一个映射,使得他们之间的元素满足一一映射

有序集

集合论中, 连续统是一个拥有多于一个元素的线性序集,而且其序满足如下性质(具此性质的序称为“稠密无洞”的):
稠密:在任意两个元素之间存在第三个元素 无洞:有上界非空子集一定有上确界实数集即为连续统的例子;实际上它是连续统的 原型。以下是连续统的几个例子:
序结构与实数集同构序同构)的集合,例如实数集里的任何开区间扩展的实数轴,以及序同构于它的,比如单位区间。 实的半开半闭区间如 (0,1] 等,以及其序同构。拓扑学中有一种比实数线还要长的“长线”(en:long_line)非标准分析中的超实数

连续统的基数

康托的连续统假设有时会被叙述成“在连续统的基数和自然数的基数之间不存在任何基数”,这里的“连续统”指的是实数集;连续统的基数即特指实数集的基数。

拓扑学

在点集拓扑学中,一个连续统是指任何非空的紧致连通度量空间(或者非空的紧致连通豪斯多夫空间,但较少用)。
按照以上定义,一个单点集也是连续统。拥有多于一个点的连续统称为非退化的连续统;由连通性和豪斯多夫性质,可知它一定含有无穷个点。 连续统理论即是拓扑学中研究拓扑连续统的分支。其中一个有趣的问题是 不可分解连续统的存在性:
是否存在这样的连续统 C ,它可以写成两个连续统的并集,且这两个都是 C真子集? 答案是肯定的,第一个例子由鲁伊兹·布劳威尔给出。
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- 来自原声例句
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