线性相关 百科内容来自于: 百度百科

在线性代数里,矢量空间的一组元素中,若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示,则称为线性无关或线性独立(linearly independent),反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关,因为第三个是前两个的和。

定义

有向量组 A : a1, a2, ···, am,
如果存在 不全为零的数 k 1, k 2, ···,k m , 使
k 1 a1+ k 2 a2+ ··· + km am= 0
则称向量组 A是线性相关的, 否则称它是线性无关.

注意

1、对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的.
2、若 a1, a2, ···, am线性无关, 则只有当 k1= k2 = ··· = km=0时, 才有 k1 a1+ k2 a2+ ··· + km am= 0成立.
3、向量A只包含一个向量 a时,若 a= 0则说 A线性相关; 若 a0, 则说 A线性无关.
4、包含零向量的任何向量组是线性相关的.
5、含有相同向量的向量组必线性相关.
6、增加向量的个数,不改变向量的相关性.(注意,原本的向量组是线性相关的)
【局部相关,整体相关】
7、减少向量的个数,不改变向量的无关性.(注意,原本的向量组是线性无关的)
【整体无关,局部无关】
8、任意n+1个n维向量必线性相关.
【个数大于维数必相关】
9、一个向量组线性无关,则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关.
【无关组的加长组仍无关】
10、一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关.
【相关组的缩短组仍相关】
11、若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零,则向量组线性相关;否则是线性无关的。

定理

1、向量 a1, a2,···, an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合
2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量
3、两个向量 ab共线的充要条件是 ab线性相关。
4、三个向量abc共面的充要条件是 abc线性相关。
5、空间中任意四个向量总是线性相关。
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- 来自原声例句
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