算术基本定理 百科内容来自于: 百度百科

算术基本定理可表述为:任何一个大于1的自然数 N ,都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=P1a1P2a2P3a3......Pnan,这里P1

内容

任何一个大于1的自然数
,都可以唯一分解成有限个质数的乘积
,这里
均为质数,其诸指数
是正整数。
这样的分解称为
的标准分解式。

证明

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。而以下是用现代的陈述方式去证明。

存在性

待证命题:大于1的自然数必可写成质数的乘积。
用反证法:假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积,把最小的那个称为n。
自然数可以根据其 可除性(是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积)分成3类:质数、合数和1。首先,按照定义, n大于1。其次, n不是质数,因为质数p可以写成质数乘积:p=p,这与假设不相符合。因此n只能是合数,但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设其中 ab都是介于1和 n之间的自然数,因此,按照 n的定义, ab都可以写成质数的乘积。从而n也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性

欧几里得引理:若质数p|ab,则p|a或p|b。
证明:若p|a则证明完毕。若否,p和a的最大公约数为1。根据裴蜀定理,存在整数对(m,n)使得ma+np=1。于是b=b(ma+np) =abm+bnp。
由于p|ab,上式右边两项都可以被p整除。所以p|b。
再用反证法:假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积,那么假设 n是最小的一个。
首先
不是质数。将n用两种方法写出:
根据引理,质数
所以
中有一个能被
整除,即
中有一个能被
整除。不妨设为
。但
也是质数,因此
假设
,则
。那麽,按照之前类似的论证,
有一个能被
整除,但
。所以不能有
,同理,也不能有
,因此
两边相除得
,於是一个存在比
小的正整数,可以用多于一种的方式写成多个质数的乘积。
这与
的最小性矛盾。
因此唯一性得证。

应用

(1)一个大于1的正整数N,如果它的标准分解式为:
那么它的正因数个数为
(2) 它的全体正因数之和为
时就称N为完全数。 是否存在奇完全数,是一个至今未解决之猜想。
(3) 利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子
最小公倍数
, 并证明
(4)此外还可证明根号2是无理数等等。
(5)证明素数个数无限。

推广

此定理可推广至更一般的交换代数代数数论。 高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。 它也诱导了诸如唯一分解整环欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金理想分解定理。
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- 来自原声例句
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