空间角度 百科内容来自于: 百度百科

空间角度(Space angle),把立体几何学的异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角,统称为空间角度。

异面直线所成角

定义

过空间一点,作分别平行于两条异面直线的相交直线所成的锐角或
直角,叫异面直线所成角

范围

异面直线所成角的范围是(0,π/2].

求法

(1)定义法
也叫平移法。按照异面直线所成角的定义,平移一条直线或平移两条直线。转化成相交直线所成角来求。然后,解三角形求角。
(2)向量法
转化成两异面直线的方向向量的夹角或其补角。即用夹角公式
三. 直线与平面所成的角

定义

当直线是平面的斜线(相交但不垂直)时,斜线与其在平面的射影的夹角,叫直线与平面所成的角。
规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,直线与平面所成角为0°;当直线与平面垂直时,直线与平面所成角为90°.

范围

直线与平面所成角的范围是[0,π/2].

求法

(1)定义法
按照直线与平面所成角的定义。一般通过面的垂线,确定斜线射影。转化成斜线与射影的夹角。然后,解三角形求角。
(2)法向量法
1°转化成平面的法向量,与斜线的方向向量所成角的余角,或补角的余角。即用公式
sin<向量n,向量b>=|n·b|/|n||b|.
2°转化成斜线的方向向量, 与斜线射影方向向量所成角,或补角。即用公式
cos<向量a,向量a′>=(a·a′)/|a|| a′|.
四. 平面与平面所成的角
平面与平面所成的角,是用二面角来描述的。

定义

(1)一条直线把平面分成两部分,每部分叫半平面。
(2)从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。
这条直线叫二面角的棱,两个半平面叫二面角的面。
(3)垂直于棱的平面,与二面角的两个面相交,得两条射线,这两条射线所成的角,叫二面角的平面角。
(4)二面角的度量
二面角的大小,用平面角来度量。平面角为55°,则称二面角为55°。反之亦然。
(5)平面与平面所成的角
如果把二面角的两个面延展成两个平面,那么两个平面相交的唯一的交线就是二面角的棱。这时二面角的平面角或其补角的大小,是平面与平面所成的角的大小。

范围

二面角的范围是[0,π]。

求法

(1)三垂线法
用三垂线定理或逆定理,得两条垂直于棱的直线。从而得平面角。然后解三角形求角。
此法使用频率最高。
(2)垂面法
也叫定义法。在棱上选一特殊点,过这点作棱的垂面,得平面角。然后解三角形求角。 (3)垂线法
在棱上选一特殊点,过这点在两个面内分别作棱的垂线,得平面角。然后解三角形求角。当棱为两个等腰三角形公共边时,如求正棱锥侧面与底面所成角时,常用此法。
(4)射影面积法
设平面角为θ,则cosθ=S′/S
(5)向量法
转化成二面角的两个面的法向量所成角或其补角。即用公式
cos<向量n1,向量n2>=(n1·n2)/|n1||n2|.
五.几点说明
1.空间角的定义体现了空间问题平面化的数学思想。把空间的角转化为相交直线(如异面直线所成角、直线与平面所成角)或两条射线(如二面角的平面角)所成角。
2.空间角的概念,是立体几何计算题的证明要点。当用传统的演绎推理法求上述角时,必须详尽写明所作的辅助直线、辅助平面;必须按照空间角的定义进行证明。然后计算。然而,用解析法和向量法没有上述要求。
3. 空间的角包括平面几何的相交直线所成的角、平行直线所成的角。

定义

1)一条直线把平面分成两部分,每部分叫半平面。
(2)从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。
这条直线叫二面角的棱,两个半平面叫二面角的面。
(3)垂直于棱的平面,与二面角的两个面相交,得两条射线,这两条射线所成的角,叫二面角的平面角。
(4)二面角的度量
二面角的大小,用平面角来度量。平面角为55°,则称二面角为55°。反之亦然。
(5)平面与平面所成的角
如果把二面角的两个面延展成两个平面,那么两个平面相交的唯一的交线就是二面角的棱。这时二面角的平面角或其补角的大小,是平面与平面所成的角的大小。

性质

1.空间角的定义体现了空间问题平面化的数学思想。把空间的角转化为相交直线(如异面直线所成角、直线与平面所成角)或两条射线(如二面角的平面角)所成角。
2.空间角的概念,是立体几何计算题的证明要点。当用传统的演绎推理法求上述角时,必须详尽写明所作的辅助直线、辅助平面;必须按照空间角的定义进行证明。然后计算。然而,用解析法和向量法没有上述要求。
3. 空间的角包括平面几何的相交直线所成的角、平行直线所成的角。

应用

(1)三垂线法
用三垂线定理或逆定理,得两条垂直于棱的直线。从而得平面角。然后解三角形求角。
此法使用频率最高。
(2)垂面法
也叫定义法。在棱上选一特殊点,过这点作棱的垂面,得平面角。然后解三角形求角。 (3)垂线法
在棱上选一特殊点,过这点在两个面内分别作棱的垂线,得平面角。然后解三角形求角。当棱为两个等腰三角形公共边时,如求正棱锥侧面与底面所成角时,常用此法。
(4)射影面积法
设平面角为θ,则cosθ=S′/S
(5)向量法
转化成二面角的两个面的法向量所成角或其补角。即用公式
cos<向量n1,向量n2>=(n1·n2)/|n1||n2|.
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