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矢量空间

矢量空间(或称线性空间)是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。
矢量空间是可以缩放和相加的对象的集合。

矢量空间是可以缩放和相加的对象的集合。

矢量空间的一个直观模型是矢量几何,几何上的矢量及相关的运算即矢量加法标量乘法,以及对运算的一些限制如封闭性结合律,已大致地描述了“矢量空间”这个数学概念的直观形象。
现代数学中,“矢量”的概念不仅限于此,符合下列公理的任何数学对象都可被当作矢量处理。譬如,实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成矢量空间,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成矢量空间,研究此类函数矢量空间的数学分支称为泛函分析。

公理化定义

给定域F,一个 矢量空间是个集合V 并规定两个运算:
矢量加法V × VV,把 V 中的两个元素 vw变为 V 中另一个元素,记作 v + w
标量乘法F × VV,把 F中的一个元素 aV 中的一个元素 v变为 V 中的另一个元素,记作 a v
这两个运算符合下列公理(对 F 中的任意元素 ab 以及 V 中的任意元素 uvw):
矢量加法结合律u + ( v + w) = ( u + v) + w
矢量加法交换律v + w = w + v
存在矢量加法的单位元V 里存在一个叫做零矢量的元素,记作 0,满足:∀ vV , v + 0 = v
矢量加法逆元素:∀ vV, ∃ wV, 使得 v + w = 0
标量乘法对矢量加法满足分配律a( v + w) = a v + a w.
标量乘法对域加法满足分配律:( a + b) v = a v + b v.
标量乘法与标量的域乘法相容: a( b v) = ( ab) v
标量乘法单位元:域 F 的乘法单位元 1满足:∀ v1 v = v
前四个公理是说明矢量 V在矢量加法中是个交换群,余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是矢量之间的加法和标量之间的加法是不一样的,标量与矢量之间的乘法(标量乘法)和两个标量之间的乘法(域中自带的乘法)也是不一样的。
简而言之,矢量空间是一个 F-模。
V 中的元素叫作矢量,而 F 中的元素叫作 标量
F实数域RV称为 实数矢量空间.
F是复数域 CV称为 复数矢量空间.
F有限域V称为 有限域矢量空间
对一般域 FV称为 F- 矢量空间

基本性质

以下是一些很容易从矢量空间公理推导出来的特性:
零矢量 0V (公理3) 是唯一的.
a 0 = 0aF.
0 v = 0vV 这里 0 是 F加法单位元.
a v = 0 ,则可以推出要么 a = 0 ,要么 v = 0.
可加的逆元矢量 v (公理4) 是唯一的. (写成− v). 这个写法 vwv + (− w) 都是标准的.
(−1) v = − vvV.
(− a) v = a(− v) = −( a v) ∀ aF , ∀ vV.
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- 来自原声例句
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