真子集 百科内容来自于: 百度百科

如果A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集。

定义

子集定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集(subset)。
记作: A⊆B(或B⊇A)
读作:“A包含于B”(“B包含A”)
而真子集是对于子集来说的
★真子集定义:如果集合A⊆B,但存在元素X∈B,且元素X不属于集合A,我们称集合A是集合B的真子集。
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集,
若 B 中有一个元素,而A 中没有,且A 是 B 的子集,则称 A 是 B 的真子集。
表示A集合中所有元素皆在B中
真子集

真子集

注: 1空集是空集的子集
2 所有集合都是其本身的子集
3 空集是任何非空集合的真子集
4 空集是一切集合的子集

举例

所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集。
所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
{1, 3} ⊆{1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}

区别

子集就是一个集合中的全部/部分元素是另一个集合中的元素,有可能与另一个集合相等
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素,但不存在相等

真子集和子集举例

子集比真子集范围大,子集里可以有全集本身,真子集里没有,还有,要注意非空真子集真子集的区别,前者不包括空集,后者可以有。
比如全集I为{1,2,3},
它的子集为{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}、再加个空集;
而真子集为{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、再加个空集,不包括全集I本身。
非空真子集为{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3},不包括全集I及空集。
设全集I的个数为n,它的子集个数为2的n次方,真子集的个数为2的n次方-1,非空真子集的个数为2的n次方-2。

子集和真子集计算

若集合A有n个元素,则集合A的子集个数为2^n(即2的n次方),且有(2^n)-1个真子集,(2^n)-2个非空真子集
证:设元素编号为1, 2, ... n,每个子集对应一个长度为n的二进制数。
规定数的第 i 位为1表示元素i在集合中,0表示元素 i 不在集合中。
即00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制]
一共有2^n个数,因此对应2^n个子集
去掉11...1(即全1,表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集,再去掉00...0(即全0,表示空集)则有2^n-2个非空真子集
比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3
111 <--> {a, b, c} --> 即集合A
110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中
101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中
... ...
001 <--> { , , c}
000 <--> { , , } --> 即空集
命题1空集是任意集合的子集。
证明:给定任意集合 A,要证明∅是A 的子集。这要求给出所有∅的元素是A 的元素;但是,∅没有元素。
对有经验的数学家们来说,推论 “∅没有元素,所以∅的所有元素是A 的元素”是显然的;但对初学者来说,有些麻烦。 因为∅没有任何元素,如何使“这些元素”成为别的集合的元素?换一种思维将有所帮助。
为了证明∅不是A 的子集,必须找到一个元素,属于∅,但不属于A。因为∅没有元素,所以这是不可能的。因此∅一定是A 的子集。
这个命题说明: 包含是一种偏序关系
命题2:若 ABC是集合,则:
自反性: AA反对称性: ABBA当且仅当A= B传递性: 若 ABBCAC
这个命题说明:对任意集合 SS幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数
命题3:若 ABC是集合 S的子集,则:
存在一个最小元和一个最大元: ∅ ⊆ AS(that ∅ ⊆ Ais Proposition 1 above.)存在并运算: AABACBCABC存在交运算: ABACACBCAB
这个命题说明:表述 " AB" 和其他使用并集交集补集的表述是等价的,即包含关系在公理体系中是多余的。
命题4: 对任意两个集合 AB,下列表述等价:
AB AB= A AB= B AB= B′ ⊆ A
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- 来自原声例句
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