相似矩阵 百科内容来自于: 百度百科

设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B. ("P^(-1)"表示P的-1次幂,也就是P的逆矩阵, "*" 表示乘号, "~" 读作"相似于".)

矩阵性质

ABC是任意同阶方阵,则有:
(1) A~ A
(2) 若 A~ B,则 B~ A
(3) 若 A~ BB~ C,则 A~ C
(4) 若 A~ B,则 r(A)=r(B),|A|=|B|
(5) 若 A~ B,且 A可逆,则 B也可逆,且 B ~ A
(6) 若 A~ B,则 AB有相同的特征方程,有相同的特征值
A对角矩阵相似,则称 A可对角化矩阵,若 n阶方阵 An线性
无关特征向量,则称 A单纯矩阵

内容分布

★ 相似矩阵与相似变换的概念
★ 相似矩阵的性质
★ 矩阵与对角矩阵相似的条件
★ 矩阵对角化的步骤
★ 矩阵可对角化的条件
★ 矩阵对角化的应用
约当阵的概念

内容要点

一、相似矩阵的概念
定义1设A,B都是n阶矩阵, 若存在可逆矩阵P,使
P^(-1)AP=B,
则称是的相似矩阵, 并称矩阵与 相似.记为.
对进行运算称为对进行 相似变换, 称可逆矩阵相似变换矩阵.
矩阵的相似关系是一种等价关系,满足:
(1) 反身性: 对任意阶矩阵,有相似;
(2)对称性: 若相似, 则与相似;
(3) 传递性: 若与相似, 则与相似.
二、相似矩阵的性质
定理1n阶矩阵 AB相似,则 AB特征多项式相同,从而 AB的特征值亦相同.
相似矩阵的其它性质:
(1) 相似矩阵的秩相等;
(2) 相似矩阵的行列式相等;
(3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.
三、矩阵与对角矩阵相似的条件
定理2 n阶矩阵 A对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵 An个线性无关的特征向量.
: 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法.
推论1n阶矩阵 An个相异的特征值,则 A对角矩阵相似.
对于 n阶方阵 A,若存在可逆矩阵P, 使为对角阵, 则称方阵 A 对角化.
定理3 n阶矩阵 A对角化的充要条件是对应于 A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数. 即设是矩阵 A的重特征值.
四、矩阵对角化的步骤
若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现:
(1) 求出的全部特征值;
(2) 对每一个特征值,设其重数为,则对应齐次方程组基础解系由个向量构成, 即为对应的线性无关的特征向量
(3) 上面求出的特征向量恰好为矩阵的个线性无关的特征向量;
五、矩阵对角化的应用
1 .利用矩阵对角化计算矩阵多项式
定理4 设是矩阵 A的特征多项式,则.
2 .利用矩阵对角化求解线性微分方程
3 .利用矩阵对角化求解线性方程组
六、约当阵的概念
定义2n阶矩阵 A中, 形如的矩阵称为约当块.
若一个分块矩阵的所有子块都是约当块, 即
中都是约当块,则称 J为约当形矩阵,或约当标准形.
:对角矩阵可视为每个约当块都为一阶的约当形矩阵.
定理5对任意一个 n阶矩阵 A,都存在 n可逆矩阵T使得
即任一 n阶矩阵 A都与 n阶约当矩阵J相似.
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- 来自原声例句
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