盈亏问题 百科内容来自于: 百度百科

把若干物体平均分给一定数量的对象,并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余,就叫盈;如果物体不够分,少了,叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。

简介

一般解法:(盈数+亏数)÷两次每份分配之差=份数、(大盈-小盈)÷两次分配之差=份数、(大亏--小亏)÷两次分配之差=份数、一盈一平或一亏一平=盈数或亏数÷两次分配的差=份数、再求总数量。每次分的数量*份数+盈=总数量。每次分的数量*份数-亏=总数量。物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出。有些则不能用公式求出,需要用其他公式。
其它(高级):盈亏临界点——交易所股票交易量的基数点,超过这一点就会实现盈利,反之则亏损
盈亏临界点计算的基本模型
设以P代表利润,V代表销量,SP代表单价、VC代表单位变动成本,FC代表固定成本,BE代表盈亏临界点,根据利润计算公式可求得盈亏临界点的基本模型为:
盈亏临界点的计算,可以采用实物和金额两种计算形式:
1.按实物单位计算:
其中,单位产 设某产品单位售价为10元,单位变动成本为6元,相关固定成本为8 000元,则盈亏临界点的销售量(实物单位)=8 000÷(10-6)=2 000(件)。品贡献毛益=单位产品销售收入-单位变动成本
2.按金额综合计算:盈亏临界点的销售量(用金额表现)=固定成本÷贡献毛益率
其中,贡献毛益率=贡献毛益/ 销售收入

数量关系中的盈亏问题

已知两个分配方案,一次分配有余,一次分配不足,求参加分配的人数及被分配的总量。这样的问题通常叫做盈亏问题。

知识背景

盈亏的问题曾记载在我国古代数学名著《九章算术》中的第六章--------“盈不足章”中,盈,就是有余;亏,就是不足的意思。
典型的盈亏问题一般以下列的形式表述:
把若干个苹果(未知数)分给若干个人(未知数),如果每人分2个还多20个,如果每人分3个则少5个。问总共有多少人?有多少个苹果?
题目中的不变量是人数和苹果数,比较两种不同的分配方法,可知苹果相差:
20 + 5 = 25 (个);相差25个苹果,亳无疑问是由于每人相差苹果3 - 2 = 1 (个)而做成的,
事实上,只有唯一一种情况才会导至上述情形,那就是有25人分苹果!
求得人数后,进而可以根据题意,用两种方法求得苹果的数目:
2×25+20=70(个)或3×25-5=70(个)。

解盈亏问题的公式

【一盈一亏的解法】
(盈数+亏数)÷两次每人分配数的差
【双盈的解法】
(大盈-小盈)÷两次每人分配数的差
【双亏的解法】
(大亏-小亏)÷两次每人分配数的差

例题与练习

例1. 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨,就多出12个梨;每只小猴子分7个梨,就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨?
梨和小猴子都是固定不变的
梨-12=小猴子*6,减少12个梨可以每个猴子分6个
梨+11=小猴子*7,增加11个梨可以每个猴子分7个
盈亏
每只猴子梨的数量
多12
6
少11
7
12+11=23 (盈+亏/盈-盈/亏-亏)
7-6=1 (乘数之差)
(12+11)÷(7-6)=23只猴子
6 ×23+12=150个梨 或者 7×23-11=150个梨
例2. 丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分3个,多16个;如果每人分5个,那么就差4个。有多少小朋友?有多少个苹果?
盈亏
每人苹果数
多16
3
少4
5
(16+4)÷(5-3)=10个小朋友
3 ×10+16=46个苹果
例3. 北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果每车坐65人,则有15人不乘车。如果每车多坐5人,恰好多余了一辆车。一共有几辆汽车?有多少学生?
盈亏
每车人数
多15
65
少65+5=70
65+5=70
(15+70)÷(70-65)=17车
65 ×17+15=1120
例4. 小明的爷爷买回一筐梨,分给全家人。如果小明和小妹每人分4个梨,其余每人分2个梨,还多出4个梨。如果小明1人分6个梨,其余每人分4个梨,又差12个梨。小明家有多少人?这筐梨子有多少个?
盈亏
每人梨数
多2*2+4=8
2
少12-(6-4)=10
4
人的数量=(10+8)÷(4-2)=9
梨的数量=4*2+2*(9-2)+4=8+14+4=26
练习与思考
1.若干个同学去划船。他们租了一些船,如果每船坐4人,则多5人。如果每船坐5人,则船上有4个空位。有多少个同学?多少条船?
盈亏
每船人数
多5
4
少4
5
(5+4)÷(5-4)=9条船
4 ×9+5=41人
2.把一袋糖分给小朋友们。如果每人分10粒糖,正好分完。如果每人分16粒糖,就有3个小朋友分不到糖。这袋糖共有多少粒?
盈亏
人均糖的数量
0
10
少16*3=48
16
(3×16-0)÷(16-10)=8个小朋友
8 ×10=80粒
3.少先队员去植树。如果每人各挖5个树坑,还有3个树坑没人挖。如果其中2人各挖4个树坑,其余的人各挖6个树坑,就恰好挖全部的树坑。少先队员一共挖了多少个树坑?
盈亏
每人挖坑数
多3
5
少2*(6-4)=4
6
(3+4) ÷ (6-5)=7个人
5 ×7+3=38个坑
4.奥林匹克学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级,还要招收30人。若编成每班50人的班级,还需招收10名新生。这次共招收了多少新生?
盈亏
每班人数
少30
55
少10
50
计算班级:(30-10)÷(55-50)=4个班
55*4-30=190
5.用一根长绳测量井的深度。如果绳子两折时,多5米。如果绳子三折时,差4米。求绳子长度的进深。(提示:绳子两折多5米,表示绳子长度是进深的2倍多5米。)
盈亏
绳子折数
多5
2
少4
3
井的深度=(2×5+3×4)÷(3-2)=22米
绳子的长度=(22+5)×2=54米
6.用一根绳子绕树三圈,余三米。如果绕树4圈,则差4米。树周长有几米?绳长几米?
盈亏
绕树圈数
多3
3
少4
4
树周长=(4+3)÷(4-3)=7米
绳子长度=3×7+3=24米
7.全班同学去划船。如果减少一条船,每条船正好坐9人。如果加一条船,每条船正好坐6人。全班共有多少人?
盈亏
每船人数
多9
9
少6
6
船的数量=(9+6)÷(9-6)=5
人的数量=(5-1)×9=36
8.一个学生从家到学校上课。他先用每分钟80米的速度走了3分钟,照这样的速度,则要迟到3分钟。如果改为每分钟走110米,结果提前3分钟到达,这个学生的家离学校有多远?
盈亏
行走速度
少3*80=240
80
多110*3=330
110
不迟到的分钟数=(330+240)÷(110-80)=19分钟
离学校距离=80×(19+3)=1760米
9.把一笔奖金分发给获奖学生。若每人分11元,差8元。若每人分16元,差48元。求学生人数与奖金总数。
盈亏
每人分的钱
少8
11
少48
16
学生人数=(48-8)÷(16-11)=8
奖金总数=11×8-8=80元

重点难点

有些应用题,从表面看起来似乎不是盈亏问题,但认真分析,将条件适当地转化后,竟然可变成盈亏问题进行解答。

学法指导

由解盈亏问题的公式可以看出,求解此类问题的关键是小心确定两次分配数量的差和盈亏的总额,如果两次分配是一次是有余,另一次是不足时,则依上面的公式先求得人数(不是物数),再求出物数;如果两次分配都是有余,则公式变成盈额差除以两次分配数之差;如果两次分配都是不足时,则公式变成亏额差除以两次分配数之差,如果……
有时候,必须转化题目中条件,才能从复杂的数量关系中寻找解答;有时候,直接从“包含”入手比较困难,可以间接从其反面“不包含”去想就会比较容易。
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- 来自原声例句
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