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混合机

混合积 百科内容来自于: 百度百科

设 a ,b ,c 是空间中三个向量,则 (a×b)·c 称为三个向量 a ,b ,c 的混合积,记作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc).

定义

a , b , c 是空间中三个向量,则 ( a× b)
c 称为三个向量 a b c 的混合积,记作 [a b c] 或 ( a,b,c) 或 ( abc).
a b c 为空间中三个向量,则 |( a× b)
c| 的几何意义表示以 a b c 为棱的平行六面体的体积 .
因为 ( a,b,c)=( a× b)
c=| a× b|| c|cos 〈 a × bc 〉=
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向量的混合积可以用来计算四面体ABCD的体积V=1/6*abs([AB AC AD])
,从而混合积 ( a,b,c) 的符号是正还是负取决于 ∠ ( a× bc ) 是锐角还是钝角,即 a×b 与 c 是指向 a , b 所在平面的同侧还是异侧,这相当于 a , b , c 三个向量依序构成右手系还是左手系 .
计算二重向量积一般有两种方法: (1) 直接按定义计算.先算出向量积a×b=d,再算出向量积d×c; (2) 按公式计算: (a×b)×c=b(a·c)-a(b·c), a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b). 即三向量的二重向量积等于中间的向量与其余两向量的数量积的乘积减去括号中另一个向量与其余两向量的数量积的乘积.

定理

(1) ( a,b,c) = ( b,c,a) = ( c,a,b) = - ( b,a,c) = - ( a,c,b) = - ( c,b,a)
证明:利用行列式的性质。
同理可证其他
(a×b)·c=(-b×a)·c=-[(b×a)·c]=-(b,a,c)
同理可证其他
或者利用坐标法计算。以 c所指方向为x轴建立右手空间直角坐标系
坐标法证明性质1 坐标法证明性质1
(2)三个向量 a b c 共面的充分必要条件是 ( a,b,c)=0
证明:
充分性:如果( a, b, c)=( a× bc=0,则表示由 ab构成的平面的法向量c垂直,即意味着 c同样在由 ab构成的平面内。(当然也有可能是 c0,而 0是与任何向量都共面的)
必要性:如果 a, b, c共面,因为 a× b是该平面的法向量,所以( a× b)⊥ c,即( a× bc=( a,b,c)=0
证毕。
因为两个不共线的向量必然确定一个平面,而三个共线向量必然共面,所以立即得到下记推论:
(3)如果 a,b,c中有至少两个向量共线,那么( a,b,c)=0
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- 来自原声例句
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