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正整数为大于0的整数。自然数中,除了0就是正整数。正整数又可分为素数,1和合数。

定义

正整数为大于0的整数。自然数中,除了0就是正整数。正整数又可分为素数,1和合数。

分类

以0为界(整数的分类)

我们以0为界限,将整数分为三大类:
1° 正整数,即大于0的整数,如,1,2,3,…
2° 0既不是正整数,也不是负整数(0是整数)。
3° 负整数,即小于0的整数,如,-1,-2,-3,…

按约数

我们知道正整数的一种分类办法是按照其约数或积因子的多少来划分的,比如仅仅有两个的(当然我们总是多余地强调这两个是1和其本身),我们就称之为质数或素数,而多于两个的就称之为合数。
(以下属个人观点)我认为这样的划分办法应该再进一步地完善,理由一:既然是以约数的个数来划分的,就应该按照这个参照把整个正整数分类完毕。比如按照老的分类办法就把1排除在外了,这么重要的数结果落的个即不是合数,也不是质数。理由二:分类不够详细,有四个及其以上约数的还应该再继续划分下去。理由三:把偶数奇数的概念也包括进去。
这样的话,正整数的分类就为如下样式:

皮亚诺公理

利用皮亚诺公理可以对正整数及 N*进行如下描述:
任何一个满足下列条件的非空集合叫做正整数集合,记作 N*。如果
Ⅰ 1是正整数;
Ⅱ 每一个确定的正整数 a,都有一个确定的后继数 a' , a'也是正整数(数 a的后继数 a‘就是紧接在这个数后面的整数( a+1)。例如,1‘=2,2’=3等等。);
Ⅲ 如果 bc都是正整数 a的后继数,那么 b = c
Ⅳ 1不是任何正整数的后继数;
Ⅴ 设 SN*,且(i)1∈ S;(ii)如果 nS,那么 n'∈ S。(这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性)
那么 M是全体正整数的集合,即 M= N*。
皮亚诺公理对 N*进行了刻画和约定,由它们可以推出关于正整数的各种性质。

相关结论

正整数的唯一分解定理:又称为算术基本定理
即:每个大于1的自然数均可写为若干个质数的幂的积,而且这些素因子按大小排列之后,写法是唯一的。
离散不等式:若 XNN*,则 X> N等价于 XN+1。
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- 来自原声例句
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