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李继闵(Li Jimin)(1938~1993)江西九江人,1993年9月10日病逝于西安。生前任西北大学数学系教授。
李继闵(Li Jimin)(1938~1993)江西九江人,1993年9月10日病逝于西安。生前任西北大学数学系教授。早年主攻几何函数论,20世纪70年代后专治中国数学史,为推动中国数学史研究的繁荣局面做出了巨大贡献,堪称当代中国数学史界的代表人物之一。
1938年3月5 日,李继闵在九江出生,曾取名浔生。李继闵五岁即入小学开蒙,曾因怯于回答先生的问题,受到母亲的杖责,身为独子的李继闵从小练就了一些独立生活的能力与勇气。1949年,他以全县会考第一名的成绩在新津县城关小学毕业,并免试直升县初级中学。后来他又报考了华西大学附中(后改为成都13中学),除了对数理化均有兴趣外,李继闵对文史地理也十分爱好。他还常在课馀时间逛书店,特别喜欢去观看一些名家的现场书法售卖。他那手漂亮的字体就是这样看着学来的。李继闵喜欢游泳,并且曾经横渡过长江。1958年7月,在成都13中的毕业典礼上,他获得甲级优等生称号及金质奖章一枚。1958年9月李继闵被西北大学数学系录取。
李继闵早年从事几何函数论方面的研究。在单叶函数论中,围绕Bieberbarch猜想的系数估计是一个众所注目的基本课题,而系数辐角对函数单叶性、凸性的影响以及系数区域的分布,则是较之更为深刻的问题。而李继闵因《九章算术》的研究奠定了他在数学史界的地位,又以《九章算术》的研究结束了他的学术生涯。他在中国数学史的研究方面做出了独到的建树,被誉为是“继李俨、钱宝琮与严敦杰三老之后最有贡献者之一”(吴文俊语)。
李继闵1938年3月5日诞生于江西九江,1993年9月10日病逝于西安。生前任西北大学数学系教授。早年主攻几何函数论,20世纪70年代后专治中国数学史,为推动中国数学史研究的繁荣局面做出了巨大贡献,堪称当代中国数学史界的代表人物之一。
一、 生平
(1) 到成都去 李继闵的父亲李孝忠1927年毕业于西康军官学校,曾在川军中任连长等职。1936年在江西南浔铁路工作期间,与继闵的母亲张宝玉结婚。1938年3月5 日,李继闵在九江出生,曾取名浔生。出生后100天,因抗日战争爆发。铁路沦陷,父亲携母子二人回到四川老家新津县,任四川公路局站长。
李继闵五岁即入小学开蒙,曾因怯于回答先生的问题,受到母亲的杖责,由于母亲严格的家教,身为独子的李继闵从小练就了一些独立生活的能力与勇气。1949年,他以全县会考第一名的成绩在新津县城关小学毕业,并免试直升县初级中学。后因父亲失去了在公路局的工作而辍学一年。1950年底,父亲因参加一贯道组织,被判刑三年,李继闵独自一人来到成都,帮助家庭料理父亲留下的木炭生意。同时在附近的小学插班,以等待来年的入学考试。
李继闵明白,要想留在成都上学,必须以最好的成绩获取奖学金。为保险起见,他同时报考了几所有名的中学。
首先投考的是一所教会学校。这是一所名气很大的贵族中学,学校的条件很好,学费很高,就读者多是当地达官贵人的子弟。据说每年都要给前三名的学生提供奖学金,考生近二千人。
揭榜那天,他从衣着讲究的家长们筑成的人墙的缝隙中钻到公布栏前,红纸黑字的名单排了几大张,只见头一排写着:第一名,李继闵。他回头便钻出人群,跑到传达室,问看门的老人是否前三名考生可获得奖学金,不料,老人回答说,这是以前的规矩,现在已经取消了。李继闵非常失望。
后来他又报考了华西大学附中(后改为成都13中学),在2000多名考生中,以第二名的优异成绩被录取。从此开始了他愉快的住读生活,并年年获得奖学金。
除了对数理化均有兴趣外,李继闵对文史地理也十分爱好。他还常在课馀时间逛书店,特别喜欢去观看一些名家的现场书法售卖。他那手漂亮的字体就是这样看着学来的。
李继闵喜欢游泳。他经常是下水后一刻不停地游上一万米,并且曾经横渡过长江,因此练就了强壮的体魄,臂力过人,身材高大。他热心社会活动,常参加文艺演出,加之学业突出,使他在成都13中学小有名气,后来便被公推为学校的学生会主席。
上高中时,李继闵的数学教师是周泰金先生。周老师看到这个才思敏捷的学生很是喜欢,但发现他时常不交作业。叫来一问,原来是李继闵实在太穷,买不起本子。周老师自己便经常买些书本送与他,并时常给予生活上的贴补,关怀备至。令他在孤独的住读生活中倍感亲切与温馨。
那时候,李继闵兴趣广泛,博览群书,精力有些分散。周老师看到他是一位可育之才,便语重心长地找他谈,讲他自己的人生经验。周老师说:“我小时候曾被人誉为神童,17岁考入北大历史系。那时候不仅善诗能文,而且对数理科也一样喜爱,希望做个博学的人,但因爱好太广,不专一,结果光阴荏苒,竟一事无成。”因此,他希望李继闵不要太放纵自己的兴趣,要目标专一。周老师还激励他,要立大志,要投名师,要上名牌大学。
这个及时的告诫对李继闵影响甚大。从此,他开始将更多的精力投入他最喜爱的数学。当时的《数学通报》每期都刊登一些征解的数学趣题,并对全部答对的作者给予公布表彰。李继闵的名字不时出现在这份刊物上。以至1979年李继闵去北京师范大学开会遇到当年的一位老编辑,待报出姓名后,对方竟惊讶他这样的年轻。
1958年7月,在成都13中的毕业典礼上,他获得甲级优等生称号及金质奖章一枚。
正当李继闵满怀信心地步入高考的考场的时候,他的家庭出身粉碎了他上名牌大学的梦想。从他的档案,可以看到当年的政审结论:“学习好,有工作能力。可录取一般专业(二类)”。
(2)从函数论到数学史 1958年9月李继闵揣着西北大学数学系的录取通知书来到西安。
大学期间,他不但勤思而且好问,从不满足和迷信讲义上或课堂上学到的那些内容。对于各种定理的证明,都要仔细推敲,直到搞清楚为止。有一次在预习一个定理时,他发现讲义上给出的证明有问题,便在教授讲课时提了出来,由于这本讲义已用了多年,教授不相信会有错误,就不太客气地批评了他几句。可是年轻气盛的他据理力争,指出这个证明犯了循环论证的毛病,弄的教授当场下不来台。多年后,他在回忆起这段往事时,检讨道,反驳要与人为善,气盛言宜,既要尊重真理,也要尊重老师。
在函数论专门化专业的学习中,他以学生代表的身份被吸收进“三结合”的教改小组,参与教材与数学的革新。在这个小组中,他遇到了他一生的第二位恩师,刘书琴教授。
刘书琴早年留学日本,为人敦厚,在学生中享有很高威望。他总是鼓励学生要珍惜大好时光,做出超越前人的成绩。在他的指导下,李继闵选择了“单位圆中正则函数系数之幅角对函数单叶性的影响”为题做毕业论文,这是一个很难的题目。文章做出来后,刘书琴欣喜万分。在1962年西北大学校庆的科学报告会上,本来学校约请刘书琴做演讲,他却执意推荐李继闵的毕业论文。后来,刘书琴又将李继闵的论文推荐给华罗庚,先后刊登在《数学学报》与《中国科学》[B1]上,成为西北地区第一篇发表在《中国科学》上的数学论文。
毕业的日子又到了,李继闵以其优异的毕业成绩被内定留校,但临至派遣,情况却发生变化。经过了几个月的努力,留校终告无望。表面上的理由是“只专不红”,实际上他的家庭出身再次决定了他的命运。
1962年12月,李继闵告别母校与恩师,到西安夜大学任教。1964年初,经中学时的同窗好友刘励中的介绍,与刘的妹妹惠中在成都结婚。
文化大革命开始后,父亲的历史问题再度被揭了出来。在一次批斗中父亲被打伤致残,并被开除了公职。
1968年次女出世。三代6口人尽靠夫妻俩80元的工资生活。长期的两地分居,给穷困的家庭更添了几分艰辛。李继闵每月只留下15元的生活费,其馀全寄回四川老家。每年也只有在寒暑假期间回家探望父母妻小。
1969年,西安夜大学解散,李继闵随大批干部一道下放陕南勉县插队落户。1970年,妻子生了一儿一女双胞胎,小女儿生下不久,大腿骨折,夫妻俩一人守着一个婴儿在医院里待了40多天。使得原本就艰辛的生活偏又雪上加霜。
1972年,开始落实知识分子政策的消息传来,经朋友介绍,李继闵带着他已发表的论文去见主管文教的副市长丛一平。副市长很快便将李继闵夫妻同时调回西安,安排在西安师范学校任教,夫妻俩终于结束了8年的两地生活。他们将两个小的留在四川交由老人抚养,带着老大和老二开始了新的生活。
妻子刚来到西安时,李继闵所有的家当就是一床铺盖和两大箱子书。这些书伴随他度过了10年孤苦而又清贫的岁月。
由于不停的政治运动,家庭的拖累,李继闵已有多年丢掉了心爱的专业。现在夫妻总算团圆,日子稍微安定,便希望重拾起来。但当时的西安,几乎看不到什么新的数学期刊,研究条件实在太差。此时,全国开始了评法批儒活动,各行业都在找自己的法家。在这种环境下,李继闵开始研究大法家沈括的《梦溪笔谈》,并且很快发表了他的第一篇数学史论文。[B2]从此对中国数学史产生了浓厚的兴趣,且一发不可收拾。
(3)刘书琴上书副总理 1977年高考恢复之后,高校工作渐渐走向正常。刘书琴多方奔走,到处呼吁,希望把当年已内定留校的得意弟子李继闵调回西大。在多次努力都没有结果的情况下,刘书琴毅然上书当时的副总理方毅。终于在方毅的干预下,李继闵于1979年重返西大。
回西大后,他面临着两种选择,一是重新拾起已丢弃多年的几何函数论研究,一是继续从事已有一定积累的数学史探索。经过慎重权衡,并征得刘书琴的支持,他坚定了继续研究数学史的志向。那时在高校工作,数学史研究只能在业馀时间来做,他的主要任务仍是为本科生承担数学分析与复变函数等基础课的教学。
李继闵有关《九章算术》的第一批研究成果,[B3-B9]为他赢得了赞誉。1983年底,他在香港大学何丙郁教授的资助与邀请下,赴香港参加了第二届国际中国科学史会议。
1984年,在北京参加完第三届国际中国科学史会议后,李继闵成功地安排了李约瑟、鲁桂珍与何丙郁等国际著名学者访问西北大学,并借此东风,在西大成立了以他为首的自然科学史研究室。
这一年,适逢数学系领导换届,张岂之校长力邀李继闵出任系主任之职,他心系学业,推辞不就。无奈在张校长一再敦请之下,盛情难违,只得上任。1987年辞去系主任职。这期间,组织上曾找他谈话,准备推荐他去做西安市副市长、陕西省副省长等职,他均一一推辞。
1986年,经吴文俊院士的大力举荐,李继闵破格晋升为教授。同年11月,在西北大学主持召开了“陕西地方科技史学术研讨会”。澳籍学者何丙郁教授与多位国内科技史专家应邀莅会,何丙郁还欣然受聘西北大学名誉教授。
(4)“一个中心两个基本点” 1987年、1990年,国务院学位办相继批准在西北大学设立数学史硕士与博士学位点。1991年,李继闵在西北大学数学系成立数学史研究室,并招收了第一届博士研究生。两个层次的研究生同时由他一人负责指导,因此有人戏称他一人负责“一个中心两个基本点”。
事实上,1986年李继闵便开始招收第一届硕士研究生。为克服西大方面师资不足的弱点,曾在北京师大白尚恕教授的协助下,送研究生去北京进修天文学方面的课程。
在高校中建立数学史博士点,是许多高校数学史学者的共同愿望。但是由于各高校的数学史学者基本上都是处于单干状态,缺乏必要的梯队,欲以一己之力,申请博士点,是不可能的。有鉴于此,几位长期并肩战斗,密切合作的数学史家,在80年代末期开始策划联合申报数学史博士点的计划。
1989年,北京师大的白尚恕教授,杭州大学的沈康身教授,西北大学的李继闵教授联合中科院系统所的吴文俊院士及数学所的李文林研究员,以三校两所联合培养,建点在北京师大的方式提出申请。
这个阵容中除李文林是世界数学史专家外,前三位均是中国数学史界的佼佼者,它因吴文俊院士的热情参与而显得十分强大。出乎意料,有关单位以白尚恕年事已高为由,未批准这一方案。白尚恕在得到这个消息之后,迅即电话转告李继闵,希望立即改从西北大学申报博士点。西北大学有关领导得知内情后,马上表示支持,李继闵次日即派研究生赶赴北京取回全部资料。申报工作在陕西几乎未遇到什么困难,顺利上报国务院学位办。几经周折,在吴文俊与杨乐等著名学者的全力支持下,终于获得批准。同时,李继闵被批准为博士生导师。
在争取中国高校中这个唯一的数学史博士点的过程中,除了吴文俊院士外,白尚恕教授立下了汗马功劳,李继闵对此铭记在心,始终未忘。建设好西北大学的数学史博士点,是李继闵的一大心愿,这是他留给西北大学,更是中国数学史事业的一份宝贵遗产。如今李继闵与白尚恕已相继仙逝。沈康身退休后,仍笔耕不辍。1993年,李文林被国务院学位办批准为博士生导师,并在李继闵病逝后,认真负责领导了李继闵招收的首届博士生的论文答辩。
1997年,国务院颁布了新的学科目录,数学史专业升格为科学技术史一级学科博士点。由李继闵创立的西北大学数学史研究室,也更名为数学与科学史研究中心。至2002年,该中心已经授予20馀位科学技术史方向的硕士与博士学位,近年来,在读的硕士与博士研究生始终保持在10名左右。2002年8月,作为2002北京国际数学家大会的一个卫星会议,西北大学数学与科学史研究中心举办了有史以来在中国举办的规模最大的一次数学史的国际会议。
(5) 《九章算术》三部曲 为准备吴文俊院士主编的论文集《刘徽研究》,1988年夏,李继闵调动了多年积累,一气呵成,撰写了8篇论文。接着,又在此基础上,完成了国内外系统研究《九章算术》与刘徽注的第一部学术专着。[A1]此书1990年出版后,在国内学术界引起了很大反响。仅在1991年于北京师大举办的“《九章算术》暨刘徽学术思想国际研讨会”上提交的50多篇论文中,约三分之一的作者,引用了该书为参考文献。1992年,这本书获得陕西省政府科技进步一等奖;次年,又获首届国家图书奖之提名奖。1999年,荣获中国国家科技进步奖三等奖。台湾九章出版社也于1992年发行了该书的繁体字版。
这本书的成功,给其责任编辑张培兰编审以很大鼓舞。她请李继闵再撰一部“《九章算术》导读与译注”以为第一本书的姊妹篇。目的是为了便于更多的普通读者的学习。经过一番考虑之后,李继闵接受了这项提议。
按李继闵以往的研究风格,比较喜欢探讨各种算法、公式或定理的数学原理或发展源流,但《导读与译注》是逐字逐句的白话与训解,常常要遇到一些过去不太注意的与校勘有关的问题,使他在写书的同时又逐渐对校勘产生了兴趣。
随着积累的问题愈来愈多,他萌生了重新全面校订《九章算术》的想法。原打算将校勘文字加入《导读与译注》一书,后与张培兰协商,决定在此书之外,单独出一本《九章算术校证》。这样,原来的姊妹篇,就变成了三部曲。并且计划在基本完成《导读与译注》初稿之后,先撰写出版《校证》一书。
由于有了《导读与译注》的底子,需要校勘的问题就比较明确了。李继闵带领着他的助手与学生,对《九章算术》进行了全面仔细的校证。每一处新的校勘,都要在定期举行的讨论班上报告并接受质疑,师生几人始终处于兴奋状态。学生们在这个过程中,不仅学到了李师的研究技巧──如何发现问题并解决问题,并且耳濡目染,学到了他严谨求实的治学作风。
(6)最后的遗憾 1993年4月初,李继闵将曲安京召到家里,用如释重负的口吻说,《校证》终于完稿,《九章》可暂告一段落。几天前普查身体时,X光显示其肺部有一阴影,校医院的医生要求他立即去第四军医大学做CT复查。
大约从1991年冬天起,每遇天寒,李继闵便时有干咳、胸闷等现象。1992年冬,情况更加严重。他在图书馆的五层有一个工作室,每次上楼,都要在中途停顿一两次,歇息片刻。学生、同事与家人都劝他早些去医院彻底查查,他却总是推托说,等忙过这阵子再说吧。那段时间,正是他的《九章算术》三部曲进入高潮的时期。在写书的同时,他还要操心学科点的建设,尤其是6位博士与硕士生的学位课程,超强度的压力搞得他心力交瘁,实在是不堪负荷。终于在三部曲脱稿之际,他被送进了医院。
复查结果是中晚期肺癌。海内外学术界的朋友们都十分关注他的病情发展,经常写信表示慰问。一直对大陆数学界热心赞助的台湾九章出版社社长孙文先,在李继闵病危期间还专程飞抵西安探望。这一切并未阻止病情的进一步恶化。
在他弥留之际,李继闵还挂念着研究室的建设,叮嘱曲安京“以后要多担待,多操心”他的眼眶里充盈着泪水,很是动情地说,他这辈子做人问心无愧,孩子们也都长大成人,他觉得最对不起的是他的夫人,跟随他几十年,含辛茹苦,在那样穷困的条件下拉扯四个孩子长大,几乎没过上一天好日子。现在情况稍好了一点,他却要先她而去了。他的母亲一直被家人隐瞒着李继闵的病情,天天在家中为儿子的康复祈祷算卦,李继闵说,他最放心不不的还有他80多岁的老母,不知她得知了他的噩耗如何受得了。其言哀哀,令人不禁澘然。他的母亲直到1994年春节去世的那一天,才知道李继闵已告别人世。
1993年9月10日,当纪志刚与王荣彬从印刷厂捧着刚刚印出的第一本《校证》样书匆匆赶到西安医科大学第一附属医院时,李继闵已永远地合上那双睿智的眼睛。
这一天正好是教师节。
二、 学术贡献
李继闵早年从事几何函数论方面的研究。在单叶函数论中,围绕Bieberbarch猜想的系数估计是一个众所注目的基本课题,而系数辐角对函数单叶性、凸性的影响以及系数区域的分布,则是较之更为深刻的问题。他在六十年代研究系数辐角对单叶性的影响,得到的许多结论的条件都已不能再加强了。所获函数单叶性不受系数辐角影响的系数模特征 ,及凸性不受系数辐角影响的系数模特征 ,都是非常漂亮的。
从1974年发表第一篇数学史论文起,他的主要精力便转向中国数学史的研究,获得的成果简述如下:
(1)算理分析 70年代末,吴文俊提出在数学史研究中要遵循“古证复原”的历史主义原则。这一具有战略意义的指导性思想,导致了80年代中国数学史研究空前繁荣的局面。
“古证复原”的基本思路就是按照传统数学的思维习惯,探索古人的数学思想。由于中国古代许多数学中的成就往往只记述其算法程序、公式或定理的结果,数学家们通常并不留下其构造思想或证明步骤,因此,如何对古算或古证进行合理的复原,一时成为人们关注的热点。
在古算法或古证的复原中,李继闵率先明确提出,应用“算理分析”的方法进行研究。并且不遗馀力地身体力行,使在众多的数学史学者中,树立了别具一格的研究风格,形成了一套引人注目的研究方法。
“调日法”是中国古代数理天文学中经常用到的一种实数有理逼近算法, 据载为刘宋时期的历算家何承天所创。其大意是,如果给定两个不等的分数,分别称其为弱率与强率,对于任意给定的一个介于弱率与强率之间的实数q,调取二正整数m、n,以使弱率与强率的加权加成充分地逼近实数q。
清代学者李锐提出,调日法即在选定某弱率与强率之后,通过对强、弱二数的逐次增加,使与实测值逐渐逼近。由此获得强、弱二数m、n。李锐之说甚受肯定,以至后人有的竟将一分数可否表示为强、弱二率的加权加成,作为判定它是否出自调日法的根据。
李继闵通过构造的一个定理指出,凡介于强、弱二率之间的一切有理数,均可表示为它们的加权加成,从而证明上述判断毫无根据。同时,通过一系列算理的分析,进一步揭示出调日法的精髓在于强、弱二数m、n之比值的误差放大功能。而这一功能正是调日法的方便实用所在。[B14,B23,B25]由此挖掘出调日法的深刻的数学内涵,颇为同行称道。
将算理分析的方法引入古算书的校勘研究,是李继闵的又一个创造性贡献。
《九章算术》方程章的刘徽注,有些讹误严重,无法卒读,校勘难度很大。李继闵发现,这些术文的总纲就是线性方程组的消元顺序,因而,可将原文按消元步骤分成若干片段进行分析。由于从残存的文字顺序来确定校勘,通常无法下手,而从消元后求得的答案所在行去逆推,却有径可循。这是因为线性方程组系数矩阵的求解次序,恰与消元过程中“减行”次序的选取相逆。如此校勘法,给人以别开生面的感觉。[B29]
(2)寓理于算 用“寓理于算”形容中国传统数学的一大特色,今天已为数学史家们普遍接受。而这一名言的提出者就是李继闵。
长期以来,人们有一个误解,似乎中国古代数学通常只关注一些具体问题的解法,缺乏一般性的问题。即使给出个别定理或公式,也从来没有严格意义上的证明。这个看法经过几代人的努力,如今已大大改观了。
中国古代数学往往在具体问题的求解或某个特例的演示中,蕴涵着一般的普适算法,或公式与命题的符合逻辑的严格证明。这就是“寓理于算”的意义。李继闵对于《九章算术》及刘徽注中整勾股数公式的发掘,堪称是中国传统数学“寓理于算”的一个范例。[B4]
整勾股数公式是数论中的一个重要定理。它是指如下不定方程之通解:
(1)
人们通常将满足(1)式的整数解称为毕达哥拉斯数。《九章算术》中有很多问题得出的解是这样的三元数组。但研究者一直认为中国古代没有发现(1)式之通解公式,自然更谈不上对它的证明了。
这一误解在李继闵的“刘徽对整勾股数的研究”一文中得到澄清。李的论文表明,早在《九章算术》中便已有了整勾股数的一般公式,而刘徽则给出它一个完美的几何证明。
作为一项经典的研究成果,李继闵的这一发现被广泛引用。吴文俊在1986年国际数学家大会的特邀报告中,特别表彰了这项成就。
(3)《九章算术》 李继闵因《九章算术》的研究奠定了他在数学史界的地位,又以《九章算术》的研究结束了他的学术生涯。他在《九章算术》上取得的成就是系统的、全面的,譬如在断代研究方面,推翻陈说,确定《九章》成书于西汉中期(公元前一世纪);[B3]从对“以率消息”的诠释,揭示圆周率 推求之谜;[A1]从比率理论的探讨,澄清前人对“其率术”造术的误解;[B12]对阳马术、羡除术的独到诠释,展示了中国古代多面体体积理论的卓越成就;[A1-3]发现中国古代面积与体积测度的独特方式,从而破解了为什么中算家未引入量纲概念的背景;[B28]发掘古算中勾股不失本率原理,阐明中国古代测量理论从勾股比率论到重差术的历史发展,[B10]等等。
无理数的发现,在古希腊曾引起“第一次数学危机”。学术界长期认为中国古代从未出现过无理数论。李继闵通过对《九章算术》开方术及刘徽注的深入分析,首先提出所谓“以面命之”即是在引进无理方根,并且从东汉张衡关于圆周率 的推算过程中发现中算家对根式运算的性质已有相当的认识与应用,从而表明,在《九章算术》的时代,中算家实质上已接近或达到实数系的完成。[B24]这一观点的提出,立即引起了数学史界的广泛关注。
刘徽注《九章》时称:“凡九数以为篇名,可以广施诸率”,并说“率”是“算之纲纪”。明确提出比率算法是古代数学理论之纲纪。李继闵通过对《九章》与刘注全面深入细致的探索,发现这种“以率为纲”,“比率就是一切”的思想渗透于全部术文之中,并且花很大的功夫,清理出以比率、衰分、盈不足、方程为主线的中国古代筹式演算体系及其理论渊源。他对于刘徽有关“率”之概念的分析诠释,获得学术界普遍的认同与广泛引用。[A1, B7]
(4)不定分析 李继闵虽以研究《九章算术》著称,但他自己却认为在中国古代不定分析理论上投入的精力更大。不定分析是中国古代算学中最具独创性的成就之一,其成果散见于历代天算典籍,内容丰富而线索错综。李继闵在这方面的探索有许多推陈出新的创见,如前文所述有关何承天调日法的探讨就是一例。
秦九韶大衍总数术把一次同馀式组问题解法推向最一般情形,其中化元数为定数算法“约奇弗约偶”之说为数学史家长期不解。80年代以来,国内有许多学者提出各种解释。李继闵从《周易》古筮法证奇偶之涵义,并从算理分析中发掘出这一算法的来龙去脉,独成一家之说。[B21, B32]
秦九韶《数书九章》中,除大衍总数术外,还给出了以代入法求解线性同馀式组的算法──演纪术。因演纪术程序不如大衍总数术(即剩馀定理)漂亮,加之其术文艰涩难读,很少受到数学史家的重视。同馀理论的发展,是同中国古代历法中上元积年的推算紧密相联的。古历中的上元(唐代以后称为演纪上元)是一种特别的历元,它需要通过求解若干联立的同馀式才能确定。由于这种历元自元代《授时历》之后即告废除,古人究竟如何求之,成为数百年来天算史界一大悬案。
学术界普遍流行的观点是,历算家应用秦九韶的大衍总数术来处理这一问题的。但秦九韶自己设计的“古历会积”一问,选择最简单的《四分历》数据用总数术求解,还是错得一塌糊涂。
李继闵在详细分析了大衍总数术程序之后出人意料地指出,秦九韶的这一算法不适用于上元积年的推算,其原因是,同馀式组欲保证有解,对诸馀数有一定的要求,而大衍总数术本身,没有给出确保同馀式组有解的判别条件。另外,总数术运算时,对同馀式组各项数据同时操作,计算量大得惊人,在天文数据构成的同馀式组中,不具备实用性。并且在清晰地整理了演纪术的程序框图之后,从算理分析、史料考据、实例计算诸方面证明,演纪术才应是历算家选择历元的实用算法。[B20, B30, B31]
李继闵的一生,清贫坎坷,饱经沧桑。三十多年来,作为一名教师,他呕心沥血、兢兢业业地传道授业,深受学生的尊敬与爱戴,临终前被评为全国教育系统劳动模范。作为一名学者,他焚膏继晷,兀兀穷年,孜孜不倦的钻研,在中国数学史的研究方面做出了独到的建树,被誉为是“继李俨、钱宝琮与严敦杰三老之后最有贡献者之一”(吴文俊语
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