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若整数a除以非零整数b,商为整数,且余数为零, 我们就说a能被b整除(或说b能整除a),记作b|a。注意b为0则不叫整除。 整除的性质:(1)如果a能被b整除,c是任意整数,那么积ac也能被b整除;(2)如果a同时被b与c整除,并且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反过来也成立。

规律

第一条:任何整数都能被1整除。
注:以下是就整数的十进制表示法而言。
第二条:个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除
第三条:每一位上数字之和能被3整除,那么这个数就能被3整除。
第四条:最后两位能被4整除的数,这个数就能被4整除。
第五条:个位上是0或5的数都能被5整除。
第六条:一个数只要能同时被2和3整除,那么这个数就能被6整除。
第七条:把个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除。
第八条:最后三位能被8整除的数,这个数就能被8整除。
第九条:每一位上数字之和能被9整除,那么这个数就能被9整除。
第十条: 若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。
第十一条:将一个数从右往左数,将奇数位上的数与偶数位上的数分别相加,然后将两个数的和相减,如果差值能被11整除(包括差值为0)则原数可以被11整除。
第十二条:若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。
第十三条:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述过程,直到能清楚判断为止。
第十四条:a 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述过程,直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。
第十五条:a 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果和是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述过程,直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。
第十六条:若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除,则这个数能被23整除。
第十七条:若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除,则这个数能被29整除。
第十八条:若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除,则这个数能被73整除。
第十九条:若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除,则这个数能被137整除。
第二十条:若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除。
第二十一条:若一个整数的末5位与前面的数的差能被9091整除,则这个数能被9091整除。
第二十二条:把一个整数分成若干段之和能被9整除,则这个数能被9整除。
第二十三条:把一个整数分成若干段,每段的末尾为奇数位加,偶数位减,结果能被11整除,则这个数能被11整除。
第二十四条:(a)若一个整数的末4位与前面的数的和能被101整除,则这个数能被101整除。
(b)若一个整数的末2位与前面的数的差能被101整除,则这个数能被101整除。

性质

(1)若a|b且b|c,则a|c
(2)若a|b,则a|kb(其中k为整数)
(3)若a|bc,且a与c互质,则a|b
(4)若a|b,a|c,则a|(b±c)
(5)若b|a,c|a,且b和c互质,则bc|a

举例

整除规则第七条(7):把个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除。
例:①147,截去个位数字后为14,用14-7*2=0,0是7的倍数,所以147也是7的倍数。
②2198,截去个位数字后为219,用219-8*2=203;继续下去,截去个位数字后为20,用20-3*2=14,14是7的倍数,所以2198也是7的倍数。

证明

设p=a1+a2*10+a3*10^2+...+a(n-1)*10^(n-1)+an*10^n
q=a2+a3*10+...+a(n-1)*10^(n-2)+an*10^(n-1)-2a1
2p+q=21(a2+a3*10+...+an*10^(n-1))
又因为21=7*3,所以若p是7的倍数,那么可以得到q是7的倍数

除尽

整除除尽既有区别又有联系。除尽是指数a除以数b(b≠0)所得的商是整数或有限小数而余数是零时,我们就说a能被b除尽(或说b能除尽a)。因此整除除尽的区别是,整除只有当被除数、除数以及商都是整数,而余数是零.除尽并不局限于整数范围内,被除数除数以及商可以是整数,也可以是有限小数,只要余数是零就可以了.它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。
整除有下列基本性质:
①若a|b,a|c,则a|(b±c)。
②若a|b,则对任意c,a|bc。
③对任意非零整数a,±1|a,±a|a。
④若a|b,b|a,则|a|=|b|。
对任意整数a,b,b>0,存在唯一的数对q,r,使a=bq+r,其中0≤r<b,这个事实称为带余除法定理,是整除理论的基础。
若c|a,c|b,则称c是a,b的公因数。若d是a,b的公因数,d≥0,且d可被a,b的任意公因数整除,则d是a,b的最大公因数。若a,b的最大公因数等于1,则称a,b互素,也称互质。累次利用带余除法可以求出a,b的最大公因数,这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。
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- 来自原声例句
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