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单项式和多项式都统称为整式。整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除、乘方五种运算,但在整式中除数不能含有字母。把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。分解因式与整式乘法互逆。

总概念

单项式多项式统称为整式
例题:
是整式。
不是整式。

单项式

概念

由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做 单项式(monomial)。单独一个数或一个字母也是单项式 ,如Q,-1,a,
,β等。

系数

(1)单项式中的常数因数叫做单项式的系数(coefficient).如3x的系数是3。
(2)如果一个单项式只含有字母因数,是正数的单项式系数为1,是负数的单项式系数为-1,如
系数为1,
系数为-1。
(3)如果只是一个数字,系数是本身。如5的系数还是5。

次数

一个单项式中, 所有字母指数的和叫做这个单项式的次数(degree of a monomaial)。例如
中字母x的次数是1,字母y的次数是2,则
的次数为1+2=3,又如
,次数为2+1=3,因为3的次数3不算入单项式的次数中。
单独一个非零数的次数是0。
例如:4xy的系数为4,次数为2。x的指数是1,y的指数是1,指数相加得2。

易错混点

(1)单项式的系数包括前面的符号,如:-a的系数是-1;
(2)单项式是由数字因数和字母因数组成的,单项式不含加减运算,含有除法运算时,分母不含字母,分子不含加减运算,如:
就不是单项式,
也不是单项式,因为它们都含加减运算(但第二题也不是分式,因为
是一个数,所以它是多项式);
(3)单项式的次数与多项式的次数是不同概念,要注意区分;
(4)系数是1或-1时,省略1不写;指数是1时,1也省略不写,在这两个知识点上容易出现错误。

加减法则

单项式加减即合并同类项,也就是合并前各同类项系数的和,字母不变。
例如:3a+4a=7a,9a-2a=7a等。
同时还要运用到去括号法则和添括号法则。

乘法法则

单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
例如:3a×4a=12a²

除法法则

同底数幂(次方)相除,底数不变,指数相减。

多项式

概念

由有限个单项式的代数和组成的代数式叫做 多项式(polynomial)。(化为最简式,即
(常数) (指数不为负数))

在多项式中,每个单项式叫做多项式的 ,其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做 几项式。多项式中的符号,看作各项的性质符号.一元N次多项式最多N+1项。
例:在多项式2x-3中,2x和-3是它的项,其中-3是常数项;在多项式
中它的项分别是
、2x和18,其中18是常数项,它是三项式。

次数

多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的 次数,如:
中,
这一项的次数最高,这个多项式的次数就是5+3=8,这个多项式就是八次三项式。

排列

有时为了计算需要,可以将多项式各项的位置根据加法交换律按照其中某个字母的指数大小顺序来排列。
例如:把多项式
按字母x指数从大到小的顺序排列,写成
,这叫做 把多项式 按字母x的降幂排列,若按x指数从小到大排列,则就是 把多项式按字母x的升幂排列,写成
,也可以是多项式中的其他字母。

易错混点

(1)多项式的次数是次数最高项的次数,而不是各项次数的和,应理解透概念。
(2)看清是降幂还是升幂排列。
(3)降幂和升幂排列都是以某一个字母(未知量)来排序。

同类项

概念

所含字母相同,并且相同字母的指数也分别对应相同的几个单项式叫同类项

法则

乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。公式中的每一个字母,一般可以表示数字,单项式,多项式,有的还可以推广到分式根式

整式的加减

就是单项式和多项式的加减,可利用去括号法则和合并同类项来完成。
例如,

乘法

同底数幂的乘法
底数是相同的幂即为同底数幂
幂
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即,
(m,n为正整数),如
幂的乘方
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(m,n为正整数),如
幂的乘方 幂的乘方
积的乘方
积的乘方,先把积中的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘。
用字母表示为:
(n为正整数),如
单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
例如:
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
例如:
多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
例如:

乘法公式

定义

乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。公式中的每一个字母,一般可以表示数字,单项式,多项式,有的还可以推广到分式根式

常用公式

三数和平方公式:
和的展开式:

因式分解

定义

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作 分解因式)。
分解因式与整式乘法为相反变形。

方法

因式分解没有普遍适用的法则,初中数学教材中主要介绍了提公因式法公式法分组分解法十字相乘法配方法待定系数法拆项法等方法。

提公因式法

又叫提取公因式法。
一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来作为多项式的一个因式,提取公因式后的式子放在括号里,作为另一个因式,这种因式分解的方法叫提公因式法。
例如,
公因式为
,因式分解结果为

公式法

逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫公式法。
因式分解常用乘法公式:
因式分解中的平方差公式:
因式分解中的完全平方公式:
因式分解中的三数完全平方公式:

十字相乘法

运用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法
如果二次三项式
中的常数项
能分解成两个因数
的积,而且一次项系数
又恰好是
,那么
就可进行以下的因式分解:
完全平方式也可用此公式分解。
例如,
十字相乘法 十字相乘法

分组分解法

利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
若是四项式,一般二二分组或一三分组。
例如,
是一三分组。

整式的除法

同底数幂的除法
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
(m、n是正整数且
例如,
任何不等于零的数的零次幂为1,即
单项式除以单项式
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
注:单项式除以单项式主要是通过转化为同底数幂的除法解决的。
例如,
多项式除以单项式
多项式除以单项式,先把多项式的每一项分别除以这个单项式,再把所得的商相加。
例如,
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- 来自原声例句
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