数形结合 百科内容来自于: 百度百科

数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分,数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合,或形数结合。作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,即数形结合包括两个方面:第一种情形是“以数解形”,而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单,直接观察却看不出什么规律来,这时就需要给图形赋值,如边长、角度等。

基本资料

我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的。

评价

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一,应用数形结合的思想,可以解决以下问题:

解决集合问题

在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算,从而使问题得以简化,使运算快捷明了。

解决函数问题

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

解决方程与不等式的问题

处理方程问题时,把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题;处理不等式时,从题目的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意义,从图形上找出解题的思路。

解决三角函数问题

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题,一般借助于单位圆或三角函数图象来处理,数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

解决线性规划问题

线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

解决数列问题

数列是一种特殊的函数,数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析,从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

解决解析几何问题

解析几何的基本思想就是数形结合,在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

解决立体几何问题

立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究,可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算

解绝对值问题

数轴,根据绝对值性质(一点到另一点的距离)得到一个范围,从而解出绝对值

解决分数应用问题

运用画线段的方法来更简便地了解题目意思,使思维更加清晰。

解题应用

概念说明

1. 数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。
2. 所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,常与以下内容有关:(1)实数数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;(3)曲线与方程的对应关系;(4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如复数三角函数等;(5)所给的等式代数式的结构含有明显的几何意义。如等式
3. 纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。
4. 数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域、最值问题中,在求复数三角函数解题中,运用数形结思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图见数想图,以开拓自己的思维视野。
5、数形结合思想的论文
数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中,主要有三种类型:以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。

应用方法

(1)以“数”化“形”
由于“数”和“形”是一种对应,有些数量比较抽象,我们难以把握,而“形”具有形象,直观的优点,能表达较多具体的思维,起着解决问题的定性作用,因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来,利用图形来解决问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”,这种模式是指数与形的一种特定关系或结构。这种把数量问题转化为图形问题,并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法,就是图形分析法。数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件,将数量问题转化为图形问题一般有三种途径:应用平面几何知识,应用立体几何知识,应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题。解一个数学问题,一般来讲都是首先对问题的结构进行分析,分解成已知是什么(条件),要求得到的是什么(目标),然后再把条件与目标相互比较,找出它们之间的内在联系。因此,对于“数”转化为“形”这类问题,解决问题的基本思路: 明确题中所给的条件和所求的目标,从题中已知条件或结论出发,先观察分析其是否相似(相同)于已学过的基本公式(定理)或图形的表达式,再作出或构造出与之相适合的图形,最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等,联系所要求解(求证)的目标去解决问题。
(2)以“形”变“数”
虽然形有形象、直观的优点,但在定量方面还必须借助代数的计算,特别是对于较复杂 的“形”,不但要正确的把图形数字化,而且还要留心观察图形的特点,发掘题目中的隐含条件,充分利用图形的性质或几何意义,把“形”正确表示成“数”的形式,进行分析计算。
解题的基本思路: 明确题中所给条件和所求的目标,分析已给出的条件和所求目标的特点和性质,理解条件或目标在图形中的重要几何意义,用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来,再根据条件和结论的联系,利用相应的公式或定理等。
(3)“形”“数”互变
“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换,不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发,认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。
数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提高学生运用数形结合思想的能力,需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。
中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹数的知识,如实数代数式方程(组)、不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围
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- 来自原声例句
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