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开集 百科内容来自于: 百度百科

开集是拓扑学里最基本的概念之一。设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为球心的小球包含于A,则称A是度量空间X中的一个开集。 如右图,满足x^2_y^2=r^2的点着蓝色。满足x^2_y^2

基本概念

假设X是一个集合, 如果存在一系列X的子集合满足下面的条件,那么每个这样的子集就称为X的一个开集,X称为拓扑空间
(1)空集和X为开集;
(2)有限多个开集之交为开集(无穷多个开集的交集未必是开集);
(3)任意多个开集之并为开集。
有了开集之后,定义开集的补集闭集。比如,X的补集为空集,因此空集也是闭集。

度量空间

设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为球心的小球包含于A,则称A是度量空间X中的一个开集。
赋予实数空间R绝对值度量,对应的开集称为通常拓扑。在通常拓扑下有以下结论:
1.实数空间R中的开区间都是开集
设a,b∈R,a<b.我们说开区间
(a,b)={x∈R|a<x<b}
是R中的一个开集.这是因为如果x∈(a,b),若令
ε=min{x-a,b-x},
则有小球B(x,ε)=(x-ε,x+ε)包含于(a,b)。
2.也同样容易证明无限的开区间
(a,∞)={x∈R|x>a},(-∞,b)={x∈R|x<b},(-∞,∞)=R
都是R中的开集。
3.闭区间不是R中的开集
实数空间上的闭区间
[a,b]={x∈R|a≤x≤b}
不是R中的开集.因为对于a∈[a,b]而言,任何
ε>0,B(a,ε)包含于 [a,b]都不成立。
4.半开半闭区间、无限闭区间都不是R中的开集
半开半闭的区间
(a,b]={x∈R|a<x≤b},[a,b)={x∈R|a≤x<b}
无限的闭区间
[a,∞)={x∈R|x≥a},(-∞,b]={x∈R|x≤b}等
都不是R中的开集。
5.开集可以唯一的用可数个两两不相交的开区间的并集表示。
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- 来自原声例句
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