平面向量基本定理 百科内容来自于: 百度百科

几何表示 数学人教版必修4 2.2向量的分解与向量的坐标关系

实质作用

此定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解,同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量,即向量的合成与分解 。当两个方向相互垂直时,其实就是把他们在直角坐标系中分解,此时(x,y)就称为此向量的坐标。(此向量的起点为原点)所以此定理为向量的坐标表示提供了理论依据。

坐标表示

平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量 ij作为基底, a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP= a。有平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得
向量OP=x i+y j
因此, a=x i+y j。
我们把实数(x,y)对叫做 向量的坐标,记作: a=(x,y)。
显然,其中(x,y)就是点P的坐标。
向量OP称为点P的 位置向量

共面向量

共面向量基本定理:如果两个向量 ab不共线,那么向量 p与向量 ab共面的充要条件是:存在唯一实数对x、y,使 p=x a+y b

正误判断

1.若 a= 0,则对任 a,b0. 错(当 ab时, a · b=0)
3.若 a0a · b=0,则 b= 0错(当 ab都不为零,且 ab时, a · b=0)
4.若 a · b=0,则 a · b中至少有一个为 0. 错(可以都不为 0,当 ab时, a · b=0成立)
5.若 a0a · b= b · c,则 a= c错(当 b= 0时)
6.若 a · b= a · c,则 bc,当且仅当 a= 0时成立. 错( a0且同时垂直于 bc时也成立)
7.对任意向量 a a=∣ a∣* ∣ a
平面向量的线性运算:加法为三角形法则'平行四边形法则'。定理:向量a与b共线,a不等于零,有且只有唯一一个实数c,使b=ca。
平面向量基本定理
  【学习目标】
  1.掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量;或一个向量分解为两个向量。
  2.能应用平面向量基本定理解决一些几何问题。
  【知识梳理】
  若 , 是不共线向量, 是平面内任一向量
  在平面内取一点O,作 = , = , = ,使 =λ1 =λ2
  = = + =λ1 +λ2
  得平面向量基本定理:
  
  
  注意:1 、 必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组基底
  2 这个定理也叫共面向量定理
  3λ1,λ2是被 , , 唯一确定的实数。

例题选讲


  1.如图,ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于M, , ,试用基底 、 表示 。
  
  2.设 、 是平面内一组基底,如果 =3 -2 , =4 + , =8 -9 ,求证:A,B,D三点共线。
  
  
  3.设是平面内一组基底,如果 =2 +k , =- -3 , =2 - ,若A,B,D三点共线,求实数k的值。
  
  4. 中, ,DE//BC,与边AC相交于点E,中线AM与DE交于点N,如图, , ,试用 、 表示 。

归纳反思


  1.平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础,它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。
  2.在解具体问题时适当地选取基底,使其它向量能够用基底来表示,选择了两个不共线地向量 ,平面内的任何一个向量都可以用 唯一表示,这样几何问题就可以转化为代数问题,转化为只含 的代数运算。

课内练习


  1.下面三种说法,正确的是
  (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底;
  (2)一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底;
  (3)零向量不可为基底中的向量;
  2.如果 、 是平面 内一组基底,,那么下列命题中正确的是
  (1)若实数m,n,使m +n = ,则m=n=0;
  (2)空间任一向量 可以表示为 = m +n ,这里m,n是实数;
  (3)对实数m,n,向量m +n 不一定在平面 ;
  (4)对平面 内的任一向量 ,使 = m +n 的实数m,n有无数组。
  3.若G是 的重心,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,则 =
  4.如图,在 中,AM:AB=1:3,AN:AC=1:4,BN与CM交于点P,设 ,试用 , 表示 。
  
  
  5.设 , , ,求证:A、B、D三点共线。
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- 来自原声例句
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