平方数 百科内容来自于: 百度百科

数学上,平方数是指任何数。

最小的50个完全平方数为(OEIS中的数列A000290):
构成平方数的星形六角数 构成平方数的星形六角数
1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 1 0 2 = 100
11 2 = 121 12 2 = 144 13 2 = 169 14 2 = 196 15 2 = 225 16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 20 2 = 400
21 2 = 441 22 2 = 484 23 2 = 529 24 2 = 576 25 2 = 625 26 2 = 676 27 2 = 729 28 2 = 784 29 2 = 841 30 2 = 900
31 2 = 961 32 2 = 1024 33 2 = 1089 34 2 = 1156 35 2 = 1225 36 2 = 1296 37 2 = 1369 38 2 = 1444 39 2 = 1521 40 2 = 1600
41 2 = 1681 42 2 = 1764 43 2 = 1849 44 2 = 1936 45 2 = 2025 46 2 = 2116 47 2 = 2209 48 2 = 2304 49 2 = 2401 50 2 = 2500

表达式

方阵

著名数学家毕达哥拉斯发现有趣奇数现象:将连续奇数相加,每次的得数正好就产生完全平方数。 如:1 + 3(=2 2) + 5(=3 2) + 7(=4 2) + 9(=5 2) + 11(=6 2) + 13(=7 2)……在奇数平方数之间有着密切的重要联系。一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方
平方数 平方数
形的点阵,使得每行每列的点都一样多。

通项公式

对于一个整数 n,它的平方写成 n 2。n 2等于头 n个正奇数的和()。在上图中,从1开始,第 n平方数表示为前一个平方数加上第 n个正奇数,如 5 2 = 25 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数:9。

递归公式

每个完全平方数可以从之前的两个平方数计算得到,递推公式为 n 2 = 2(n − 1) 2 − (n − 2) 2 + 2。例如,2×5 2 − 4 2 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6 2

连续整数的和

完全平方数还可以表示成 n 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如,4 2 = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列,即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的完全平方数非常有用。例如: 52 2 = 50 2 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.
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- 来自原声例句
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