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数学严密化是通过各个分支的公理化完成的。公理化发展的实质是从一些由公理 出发的非定义术语导出公理的推论。并在各系统内确立这些公理的独立性,相容性及结构规 定性。公理化的探索早在 Euclid 时代就已开始,而真正创立在 19 世纪。真是由于第二次数 学危机, 当 VCauchy , Weierstrass 等人完成了极限化的严格化之后, 分析的严密化促使整个 数学基础的反思,于是数的基础的严密性趋向产生了 数学严密化是通过各个分支的公理化完成的。公理化发展的实质是从一些由公理 出发的非定义术语导出公理的推论。并在各系统内确立这些公理的独立性,相容性及结构规 定性。公理化的探索早在 Euclid 时代就已开始,而真正创立在 19 世纪。真是由于第二次数 学危机, 当 VCauchy , Weierstrass 等人完成了极限化的严格化之后, 分析的严密化促使整个 数学基础的反思,于是数的基础的严密性趋向产生了 数学严密化是通过各个分支的公理化完成的。公理化发展的实质是从一些由公理出发的非定义术语导出公理的推论。并在各系统内确立这些公理的独立性,相容性及结构规定性。公理化的探索早在Euclid时代就已开始,而真正创立在19世纪。真是由于第二次数学危机,当VCauchy,Weierstrass等人完成了极限化的严格化之后,分析的严密化促使整个数学基础的反思,于是数的基础的严密性趋向产生了

实数

实数,是一种能和数轴上的点一一对应的数。本来实数只叫作“数”,后来引入的虚数概念,数系扩充到复数系,原本的数便称作“实数”,意义是“实在的数”。
实数可以分为有理数无理数两类,或代数数超越数两类,或正数负数和零。实数集通常用字母R表示。而用 Rn 来代表 n维实数空间n-dimensional real space)。
实数是可以用来测量连续的量的。实数的个数是无穷的。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后n位,n为正整数)。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用 浮点数floating point numbe

历史

埃及人早在公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右,以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们就意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数,中国也曾发明负数,但稍晚于印度。在1871年,德国数学家康托尔最早地全面地给出了实数的定义。

从有理数构作实数

实数可以不同方式从有理数(即分数)构作出来。

公理系统

设 R 是所有实数的集合,则:
集合 R 是一个体:可以作加、减、乘、除、乘方运算,且有如交换律,结合律等运算律。
集合 R 是有序的:设 x, y z∈R,则:
若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0.
集合 R 是完整的:设 R 的一个非空的子集S,如果S在R内有上限,那么S在R内有最小上限。
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如:所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上限, 但是不存在有理数最小上限(√2)。
实数是唯一适合以上特性的集合:亦即如有两个如此集合,则两者之间必存在代数学上所称的域同构,即代数学上两者可看作是相同的。

实数域的特性

连续性

数轴上的任何一点都可以用一个实数来表示,每个实数也对应着数轴上的一个点,可见全体实数正好铺满了数轴,这个性质称为实数的 连续性

有序性

对于任意a,b ∈R,必满足下述三个关系之一:
(i) a<b
(ii) a=b
(iii) a>b

阿基米德性

对任意a,b ∈R,若a>0,b>0,则存在正整数n,使得na>b.
推论: 任意两个不相等的实数间必然存在一个有理数。(1)
证明:
设α,β∈R,且α<β。由阿基米德性,必存在自然数N,使得N(β-α)>1,即β-α>(1/n)
任意取定有理数γ(0)<a,由于(1/N)>0,a-γ(0)》0,故由阿基米德性,存在m∈N,使得γ(0)+(m/N)>α.可见,数列{γ(0)+(m/N)}中总有一项大于a.
设 γ(0)+(n(0)/N) 为此数列第一个大于α的项,于是γ(0)+(n(0)-1)/n ≤ α,故
γ(0)+(n(0)/N)-β≤a-(n(0)-1)/N+(n(0)/N)-β
=a+(1/N)-β
<0
即 α< γ(0)+(n(0)/N)<β,而 γ(0)+(n(0)/N)显然为有理数,即证。
类似可以证明:任意两个不相等的实数之间必存在一个无理数。于是有:任意两个不相等的实数之间必有一个实数。
(1)也可以描述为:在任意一个区间(α,β)内都存在有理数。
由此可见,有理数在实数集中是密集分布的,但仍有“缝隙”,这些“缝隙”则有无穷多的无理数填满。

完备性

①所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
②有理数集并非拓扑完备,例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, …) 是有理数的柯西序列却没有有理数极限。但它却有个实数极限 √2。实数集是有理数集的空备化——这亦是其中一个构作实数集的方法。
极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里得几何的直线没有“空隙”。
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- 来自原声例句
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