多项式除法 百科内容来自于: 百度百科

除法的一种类型

一般步骤

多项式除以多项式一般用竖式进行演算
(1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐.
(2)用被除式的第一项除以除式第一项,得到商式的第一项.
(3)用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),消去相等项,把不相等的项结合起来.
(4)把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+
多项式除法示例 多项式除法示例
余式

例[编辑]

计算
把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐,写成以下这种形式:
然后商和余数可以这样计算:
  1. 将分子的第一项除以分母的最高次项(即次数最高的项,此处为x)。结果写在横线之上(x3 ÷ x = x2).
  2. 将分母乘以刚得到结果(最终商的第一项),乘积写在分子前两项之下(同类项对齐) (x2·(x−3) = x3−3x2).
  3. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积(消去相等项,把不相等的项结合起来),结果写在下面。((x3−12x2)−(x3−3x2) = −12x2+3x2 = −9x2)然后,将分子的下一项“拿下来”。
  4. 把减得的差当作新的被除式,重复前三步(直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+余式 )
  5. 重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。
横线之上的多项式即为商,而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形,即所有 x 被替换为10的情形。

整除

如果一个多项式除以另一个多项式,余式为零,就说这个多项式能被另一个多项式整除

应用

多项式的因式分解

有时某个多项式的一或多个根已知,可能是使用Rational root theorem(英语:) 得到的。如果一个
次多项式
的一个根
已知,那么
可以使用多项式长除法因式分解为
的形式,其中
是一个
次的多项式。简单来说,
就是长除法的商,而又知
的一个根、余式必定为零。
相似地,如果不止一个根是已知的,比如已知
这两个,那么可以先从
中除掉线性因子
得到
,再从
中除掉
,以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子
使用这种方法,有时超过四次的多项式的所有根都可以求得,虽然这并不总是可能的。例如,如果 Rational root theorem(英语:)可以用来求得一个五次方程的一个(比例)根,它就可以被除掉以得到一个四次商式;然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线

多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r) 2 的余式——也即,除以 x 2-2rx+r 2——那么在 x=r 处 P(x) 的切线方程是 y=R(x),不论 r 是否是 P(x) 的根。
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- 来自原声例句
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