因式分解 百科内容来自于: 百度百科

把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。 原则: 1、分解必须要彻底(即分解之后因式均不能再做分解) 2、结果最后只留下小括号 3、结果的多项式首项为正。 在一个公式内把其公因子抽出,例子: 其中,是公因子。因此,因式分解后得到的答案是:公式重组 透过公式重组,然后再抽出公因子。

含义

因式分解的定义和主要方法常规因式分解主要公式 定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。例如:m²-n²=(m+n)(m-n)
意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习整式的四则运算,又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的、思维发展性、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法为相反变形。
同时也是解一元二次方程因式分解法的重要步骤
高级结论:
在高等数学上因式分解有一些重要结论,在初等数学层面上证明很困难,但是理解很容易。
1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程一元二次方程,初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明,对于一元三次方程一元四次方程,也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂,在非专业领域没有介绍。对于分解因式,三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法,只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式,已经证明不能找到固定的因式分解法,五次以上的一元方程也没有固定解法。
2 、所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解,所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如X 4+1,这是一个一元四次多项式,看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3,所以一定可以因式分解。如果有兴趣,你也可以用待定系数法将其分解,只是分解出来的式子并不整洁。(这是因为,由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根,也就是说,n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式乘积。并且还有一条定理:实系数多项式的虚数根两两共轭的,将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘,可以得到二次的实系数因式,从而这条结论也就成立了。)
3 、因式分解虽然没有固定方法,但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高,但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高,所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨,不过能有效地解决找公因式的问题。
4、因式分解是很困难的,但初中所接触的只是因式分解很简单的一部分,真正的因式分解需要研究生的水准,抽象代数在因式分解上有重要的应用,大家可以尝试因式分解x^n-1,这是一道经典的考题曾经在1978年全国奥数竞赛中出现。

分解方法

十字相乘法

十字相乘法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
如:
a²x²+ax-42
首先,我们看看第一个数,是a²,代表是两个a相乘得到的,则推断出(a ×+?)×(a ×+?),
然后我们再看第二项,+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ,-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。
首先,21和2无论正负,通过任意加减后都不可能是1,只可能是-19或者19,所以排除后者。
然后,再确定是-7×6还是7×-6。
(a×-7)×(a×+6)=a²x²-ax-42(计算过程省略)
得到结果与原来结果不相符,原式+a 变成了-a。
再算:
(a×+7)×(a×+(-6))=a²x²+ax-42
正确,所以a²x²+ax-42就被分解成为(ax+7)×(ax-6),这就是通俗的十字相乘法分解因式。

公式法

公式法,即运用公式分解因式。
公式一般有
1、a²-b²=(a+b)(a-b)
2、a²±2ab+b²=(a±b)²

因式分解

十字相乘法待定系数法双十字相乘法对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公 因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法式法,换元法长除法短除法除法等。
注意四原则:
1.分解彻底(是否有公因式,是否可用公式)
2.最后结果只有小括号
3.最后结果中多项式首项系数为正(例如:-3x 2+x=x(-3x+1))不一定首项一定为正,如-2x-3xy-4xz=
-x(2+3y+4z)
归纳方法:
2.运用公式法。
3.拼凑法。
拼凑法实例

拼凑法实例

提取公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.公因式可以是单项式,也可以是多项式
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做 提取公因式
具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数最大公约数字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时,公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
口诀:找准公因式,一次要提尽,全家都搬走,留1把家守,提负要变号,变形看奇偶。
例如:
注意:把
变成
不叫提公因式

公式法

根据因式分解与整式乘法的关系,我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解,这种因式分解的方法叫做公式法
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫运用公式法
平方差公式
反过来为
完全平方公式
反过来为
反过来为
注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
两根式:
立方和公式:a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)
立方差公式:a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)
完全立方公式:a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b) 3
公式:a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)
例如:a 2+4ab+4b 2 =(a+2b) 2
1.分解因式技巧掌握:
①分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式。
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。
③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。
2.提公因式法基本步骤:
(1)找出公因式
(2)提公因式并确定另一个因式
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式
③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同

解方程法

通过解方程来进行因式分解,如:
X 2+2X+1=0 ,解,得X 1=-1,X 2=-1,就得到原式=(X+1)×(X+1)

竞赛方法

分组分解法

分组分解是分解因式的一种简洁的方法,下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的多项式有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。
比如:
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。
同样,这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题:
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法:=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)
说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。
2. x 2-x-y 2-y
解法:=(x 2-y 2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a 2-b 2=(a+b)(a-b),然后相合解决。
三一分法,例:a^2-b^2-2bc-c^2
=a^2-(b+c)^2
=(a-b-c)(a+b+c)

十字相乘法

十字相乘法在解题时是一个很好用的方法,也很简单。
这种方法有两种情况。
①x 2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
例1:x 2-2x-8
=(x-4)(x+2)
②kx 2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ab,n=cd,且有ad+bc=m时,那么kx 2+mx+n=(ax+c)(bx+d).
例2:分解7x 2-19x-6
图示如下:a=7 b=1 c=2 d=-3
因为 -3×7=-21,1×2=2,且-21+2=-19,
所以,原式=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口诀:分二次项,分常数项,交叉相乘求和得一次项。
例3:6X 2+7X+2
第1项二次项(6X 2)拆分为:2×3
第3项常数项(2)拆分为:1×2
2(X) 3(X)
1 2
对角相乘:1×3+2×2得第2项一次项(7X)
纵向相乘,横向相加。
十字相乘法判定定理:若有式子ax 2+bx+c,若b 2-4ac为完全平方数,则此式可已被十字相乘法分解。
与十字相乘法对应的还有双十字相乘法,也可以学一学。

拆添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b).

配方法

对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如:x 2+3x-40
=x 2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5) 2-(6.5) 2
=(x+8)(x-5).

因式定理

对于多项式f(x),如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.
例如:f(x)=x 2+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x 2+5x+6的一个因式。(事实上,x 2+5x+6=(x+2)(x+3).)
注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数
2.对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数

换元法

有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元。
例如在分解(x 2+x+1)(x 2+x+2)-12时,可以令y=x 2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y 2+3y+2-12=y 2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x 2+x+5)(x 2+x-2)
=(x 2+x+5)(x+2)(x-1).

综合除法

令多项式f(x)=0,求出其根为x 1,x 2,x 3,……,x n,则该多项式可分解为f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(x-x 3)……(x-x n) .
例如在分解2x 4+7x 3-2x 2-13x+6时,令2x 4 +7x 3-2x 2-13x+6=0,
则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1.
所以2x 4+7x 3-2x 2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x 1,x 2,x 3,……x n ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(x-x 3)……(x-x n).
与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。

主元法

例如在分解x 3+2x 2-5x-6时,可以令y=x 3+2x 2-5x-6.
作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2
则x 3+2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。

特殊值法

将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例如在分解x 3+9x 2+23x+15时,令x=2,则
x 3+9x 2+23x+15=8+36+46+15=105,
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 .
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,
则x 3+9x 2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。

待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例如在分解x 4-x 3-5x 2-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
于是设x 4-x 3-5x 2-6x-4=(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)
相关公式

相关公式

=x 4+(a+c)x 3+(ac+b+d)x 2+(ad+bc)x+bd
由此可得
a+c=-1,
ac+b+d=-5,
ad+bc=-6,
bd=-4.
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.
则x 4-x 3-5x 2-6x-4=(x 2+x+1)(x 2-2x-4).
也可以参看右图。

双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:
ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f
x、y为未知数,其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例:分解因式:x 2+5xy+6y 2+8x+18y+12.
分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解:图如下,把所有的数字交叉相连即可
x  2y  2
x  3y  6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).
双十字相乘法其步骤为:
①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x 2+5xy+6y 2=(x+2y)(x+3y)
②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y 2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。
④纵向相乘,横向相加。

二次多项式

(根与系数关系二次多项式因式分解)
例:对于二次多项式 aX 2+bX+c(a≠0)
.
当△=b 2-4ac≥0时,设aX 2+bX+c=0的解为X 1,X 2
=a(X 2-(X 1+X 2)X+X 1X 2)
=a(X-X 1)(X-X 2).

分解步骤

①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要相对合适。”

例题

1.分解因式(1+y) 2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y) 2
解:原式=(1+y) 2+2(1+y)x 2(1-y)+x 4(1-y) 2-2(1+y)x 2(1-y)-2x 2(1+y 2)(补项)
=[(1+y)+x 2(1-y)] 2-2(1+y)x 2(1-y)-2x 2(1+y 2)(完全平方)
=[(1+y)+x 2(1-y)] 2-(2x) 2
=[(1+y)+x 2(1-y)+2x][(1+y)+x 2(1-y)-2x]
=(x 2-x 2y+2x+y+1)(x^2-x 2y-2x+y+1)
=[(x+1) 2-y(x 2-1)][(x-1) 2-y(x 2-1)]
=[(x+1) 2-y(x+1)(x-1)][(x-1) 2-y(x+1)(x-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).
2.求证:对于任何整数x,y,下式的值都不会为33:
x 5+3x 4y-5x 3y 2-15x 2y 3+4xy 4+12y 5
解:原式=(x 5+3x 4y)-(5x 3y 2+15x 2y 3)+(4xy 4+12y 5)
=x 4(x+3y)-5x 2y 2(x+3y)+4y 4(x+3y)
=(x+3y)(x 4-5x 2y 2+4y 4)
=(x+3y)(x 2-4y 2)(x 2-y 2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).
当y=0时,原式=x 5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。
3..△ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c 2+a 2+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是等腰三角形。
分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明:∵-c 2+a 2+2ab-2bc=0,
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.
∴(a-c)(a+2b+c)=0.
∵a、b、c是△ABC的三条边,
∴a+2b+c>0.
∴a-c=0,
即a=c,△ABC为等腰三角形。
4.把-12x 2n×y n+18x n+2y n+1-6x n×y n-1分解因式。
解:-12x 2n×y n+18x n+2y n+1-6x n×y n-1
=-6x n×y n-1(2x n×y-3x 2y 2+1).

四个注意

因式分解中的四个注意,可用四句话概括如下:首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”。现举下例,可供参考。
例1 把-a 2-b 2+2ab+4分解因式。
解:-a 2-b 2+2ab+4=-(a 2-2ab+b 2-4)=-[(a-b) 2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的“负”,指“负号”。如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如-9x 2+4y 2=(-3x) 2-(2y) 2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。
分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x 4y 2-5x 2y 2-9y 2=y 2(4x 4-5x 2-9)=y(x+1)(4x 2-9)的错误,因为4x 2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。
考试时应注意:
在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数
由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”等是一脉相承的。

应用

1. 应用于多项式除法。
:a(b−1)(ab+2b+a)
  说明:(ab+b) 2−(a+b) 2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) = (ab+2b+a)(ab−a) = a(b−1)(ab+2b+a).
2. 应用于高次方程的求根。
3. 应用于分式的通分约分
顺带一提,梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展:
1,p=4r+3,如果8r+7也是素数,则:(8r+7)|(2 P-1)。即(2p+1)|(2 P-1)
例如:
23|(2 11-1);;11=4×2+3
47|(2 23-1);;23=4×5+3
167|(2 83-1);,,,.83=4×20+3
2,p=2 n×3 2+1,,则(6p+1)|(2 P-1),
例如:223|(2 37-1);37=2×2×3×3+1
439|(2 73-1);73=2×2×2×3×3+1
3463|(2 577-1);577=2×2×2×2×2×2×3×3+1
3,p=2 n×3 m×5 s-1,则(8p+1)|(2 P-1)
例如;233|(2 29-1);29=2×3×5-1
1433|(2 179-1);179=2×2×3×3×5-1
1913|(2 239-1);239=2×2×2×2×3×5-1

分解公式

平方差公式

(a+b)(a-b)=a 2-b 2

完全平方公式

(a+b) 2=a 2+2ab+b 2
(a-b) 2=a 2-2ab+b 2

立方和(差)

两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。
即a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)
证明如下:( a-b) 3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3
所以a 3-b 3=(a-b) 3-[-3(a 2)b+3ab 2]=(a-b)(a-b) 2+3ab(a-b)
=(a-b)(a 2-2ab+b 2+3ab)=(a-b)(a 2+ab+b 2)
同理 a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)

十字相乘公式

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。
(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab
$firstVoiceSent
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