向量空间 百科内容来自于: 百度百科

向量空间又称线性空间,是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后,使许多问题的处理变得更为简洁和清晰,在此基础上的进一步抽象化,形成了与域相联系的向量空间概念。譬如,实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。 向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。

公理化定义

设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算
向量加法:+ : V +V → V 记作 v + w, ∃ v, w ∈ V
标量乘法:· : F × V → V 记作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V
符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V):
  1. 向量加法结合律:u + (v + w) = (u + v) + w;
  2. 向量加法交换律:v + w = w + v;
  3. 向量加法的单位元:V 里有一个叫做零向量的 0,∀ v ∈ V , v + 0 = v;
  4. 向量加法的逆元素:∀v∈V, ∃w∈V,使得 v + w = 0;
  5. 标量乘法分配于向量加法上:a(v + w) = a v + a w;
  6. 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v;
  7. 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v;
  8. 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。
有些教科书还强调以下两个公理:
V 闭合在向量加法下:v + w ∈ V
V 闭合在标量乘法下:a v ∈ V
更抽象的说,一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量,而F的成员叫作标量。若F是实数域R,V称为实向量空间;若F是复数域C,V称为复向量空间;若F是有限域,V称为有限域向量空间;对一般域F,V称为F-向量空间。
首4个公理是说明向量V在向量加法中是个阿贝尔群,余下的4个公理应用于标量乘法。
以下都是一些很容易从向量空间公理推展出来的特性:
  • 零向量0 ∈ V(公理3)是唯一的
  • a 0 = 0,∀ a ∈ F
  • 0 v = 0,∀ v ∈ V,这里 0 是F的加法单位元
  • a v = 0 ,则可以推出要么 a = 0 ,要么 v = 0
  • v的加法逆元(公理4)是唯一的(写成−v),这两个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的
  • (−1)v = −v,∀ v ∈ V
  • (−a)v = a(−v) = −(av),∀ a ∈ F ,∀ v ∈ V

线性无关

如果V是一个线性空间,如果存在不全为零的系数c 1, c 2, ..., c n∈F,使得c 1v 1+ c 2v 2+ ... + c nv n= 0,那么其中有限多个向量v 1, v 2, ..., v n称为线性相关的.
反之,称这组向量为线性无关的。更一般的,如果有无穷多个向量,我们称这无穷多个向量是线性无关的,如果其中任意有限多个都是线性无关的。

子空间

设W为向量空间 V 的一个非空子集,若W在 V 的加法及标量乘法下是封闭的,就称W为 V 的线性子空间。
给出一个向量集合 B,那么包含它的最小子空间就称为它的扩张,记作 span(B)。另外可以规定空集的扩张为{0}。
给出一个向量集合 B,若它的扩张就是向量空间 V, 则称 B 为 V 的生成集合
给出一个向量集合 B,若B是线性无关的,且B能够生成V,就称B为V的一个。若 V={0},唯一的基是空集。对非零向量空间 V,基是 V 最小的生成集,也是极大线性无关组
如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集,那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数,称为该空间的维度。例如,实数向量空间:R 0, R 1, R 2, R 3, …中, R n 的维度就是 n。
空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中向量的线性组合。而且,将基中向量进行排列,表示成有序基,每个向量便可以坐标系统来表示。

线性映射

若 V 和 W 都是域 F上的向量空间,可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的映射都有共同点,就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射,以 L(V, W) 来描述,也是一个域 F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后,线性映射可以用矩阵来表达。
同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构,我们称这两个空间为同构;域 F上每一 n维向量空间都与向量空间 F同构。
一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴,即阿贝尔范畴。

额外结构

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下:
一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间
一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念,称为内积空间
一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间
一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。
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- 来自原声例句
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