向量积 百科内容来自于: 百度百科

向量积也被称为矢量积、叉积(即交叉乘积)、外积,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量垂直。

方程式

两个向量ab的叉积写作 a× b(有时也被写成 ab
避免和字母x混淆)。向量积可以被定义为:
|向量 a×向量 b|=| a|| b|sinθ在这里θ表示两向量之间的角夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。
这个定义有一个问题,就是同时有两个单位向量都垂直于和:若满足垂直的条件,那么也满足。
一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从 a以不超过180度的转角转向 b时,竖起的大拇指指向是 c的方向。
向量积| c|=| a× b|=| a| | b|sin< a,b>
c的长度在数值上等于以 ab,夹角为θ组成的平行四边形的面积。
c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定。
=(
),
=(
)。i,j,k分别是X,Y,Z轴方向的单位向量,则:
a× b=(
-
) i+(
-
) j+(
-
) k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成det
b× a= - a× b右手规则
三角形ABC的面积=

性质

几何意义

叉积的长度 | a× b| 可以解释成以 ab为邻边的平行四边形的面积。
混合积 [ a b c] = ( a× bc可以得到以 a,b,c为棱的平行六面体的体积

代数规则

反交换律:
a× b= - b× a
加法的分配律:
a× ( b+ c) = a× b+ a× c
标量乘法兼容:
(r a) × b= a× (r b) = r( a× b)
不满足结合律,但满足雅可比恒等式
a× ( b× c) + b× ( c× a) + c× ( a× b) = 0
分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。
两个非零向量 ab 平行,当且仅当 a× b= 0

拉格朗日公式

这是一个著名的公式,而且非常有用:
a× ( b× c) = b( a· c) - c( a· b),
证明过程如下:
二重向量叉乘化简公式及证明 二重向量叉乘化简公式及证明
可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是,这个公式对微分算子不成立。
这里给出一个和梯度相关的一个情形:
这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 的特殊情形。
另一个有用的拉格朗日恒等式是:
这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量 i,j,k满足下列等式:
i× j = k;
j× k= i ;
k× i= j ;
通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设
a= [a1, a2, a3] =a1 i+ a2 j+ a3 k
b= [b1,b2,b3]=b1 i+ b2 j+ b3 k ;
a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]
上述等式可以写成矩阵的行列式的形式:
叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 ijk 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1 i + a2 j + a3 k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。
七维叉积具有与三维叉积相似的性质:
双线性性:
x × (a y + b z) = a x × y + b x × z
(a y + b z) × x = a y × x + b z × x.
反交换律:
x × y + y × x = 0
同时与 x 和 y 垂直:
x · ( x × y) = y · ( x × y) = 0
拉格朗日恒等式
| x × y|² = | x|² | y|² - ( x · y)².
不同于三维情形,它并不满足雅可比恒等式:
x × ( y × z) + y × ( z × x) + z × ( x × y) ≠ 0

应用

在物理学光学和计算机图形学中,叉积被用于求物体光照相关问题。
求解光照的核心在于求出物体表面法线,而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线。
$firstVoiceSent
- 来自原声例句
小调查
请问您想要如何调整此模块?

感谢您的反馈,我们会尽快进行适当修改!
进来说说原因吧 确定
小调查
请问您想要如何调整此模块?

感谢您的反馈,我们会尽快进行适当修改!
进来说说原因吧 确定