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双设法与盈不足术

在凯拉吉之后,十二世纪的意大利数学家斐波那契从阿拉伯人那里习得算学,著书《算经》。此书的第十三章讨论了两种“契丹算法”。斐波那契在书中提到两种契丹算法,显然第一种契丹算法——“双设法”与凯拉吉的双设法相同,而第二种“契丹算法”即“盈不足术”,其中术语“试错”对应的是“所出率”,“假令”对应的是“不足”或“盈”。
  根据斐波那契在《计算之书》中的记载,把双设法与盈不足术都称为契丹算法。第一种契丹算法——双设法,与凯拉吉的双设法相同,而第二种契丹算法——盈不足术与中国古代的数学方法——盈不足术是相同的。在《计算之书》中,“契丹”正是当时西方对中国的称呼,由此很多学者认为双设法来源于中国。那么凯拉吉这种解线性方程组的方法——双设法究竟能不能看作是盈不足术呢?是否来源于中国?《九章算术》中将盈不足术分“两盈”、“两不足”、“一盈一足”三种情形。凯拉吉的这个线性方程组两次假设都“不足”。我们将盈不足术中两不足情形与凯拉吉的双设法进行比较。
  双设法与盈不足术确有相似之处,这两种方法都是两次假设,假设都是可盈可不足。然而从数学思想上来看,如斐波那契所说,双设法是一种四项比例算法,即已知其中的三项,来求未知项。而盈不足术是一种程序化、模式化的算法。二者是不相同的。从问题的数量关系上看,《九章算术》中盈不足章的问题多是二元一次方程组。而凯拉吉解的方程组属于三元一次方程组。
  双设法与盈不足术并不等同,不能说双设法就是盈不足术。凯拉吉的这个线性方程组问题本身,应该受到丢番图的《算术》的影响,但是目前《算术》所遗留下来的手稿,并没有保存对这类问题的解法。那么凯拉吉对方程组的解法出自何人,竟是受到丢番图影响,还是受“盈不足术”的启发或影响,不能断言,还有待于对《发赫里》这部著作进行整体的、更进一步的研究。

盈不足术的发展

《九章算术》的盈不足章的最前四个问题是正规的盈亏问题。而第五题是“两盈”问题,第六题是“两不足”问题则分子就得相减了,都是“以少减多”来进行的,第七题是“盈、适足”,第八题是“不足,适足问题。它们的解法也可以在盈不足术的基础上分别提出适当的公式。
  盈不足章的第9到第20题,是一般的算术应用题,有些问题还相当难,初学者不易解答。如果通过两次假设(分别各假设一个答数)然后分别验算其盈余和不足的数量,这样任何算术问题都可以改造成为一个盈亏问题来解。因此盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造,它在我国古代算法中占有相当重要的地位。盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家,受到特别重视,被称为“契丹算法”,后来又传入欧洲,中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国。

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- 来自原声例句
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