伽罗瓦理论 百科内容来自于: 百度百科

伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前,解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代,人们就会解二次方程。在许多情况下,求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式,是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。

发展历史

经过两个多世纪,一些著名的数学家,如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等,都做了很多工作,但都未取得重大的进展。19世纪上半叶,阿贝尔受高斯处理二项方程 ( p为素数)的方法的启示,研究五次以上代数方程的求解问题,终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。他还发现一类能用根式求解的特殊方程。这类方程现在称为阿贝尔方程。阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性,由于他的早逝而未能完成这项工作。
伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作),他试图找出为
伽罗瓦

伽罗瓦

了使一个方程存在根式解,其系数所应满足的充分和必要条件。到1832年他完全解决了这个问题。在他临死的前夜,他将结果写在一封信中,留给他的一位朋友。1846年他的手稿才公开发表。伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题,他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理,这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的,后人称之为“伽罗瓦理论”。伽罗瓦理论的建立,不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究,而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。

思想建立

在几乎整整一个世纪中,伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成,德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想,建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦理论发展的另一条路线,也是由戴德金开创的,即建立非交换环的伽罗瓦理论。1940年前后,美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论,并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。人们已经证明:这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。这样一来,一个用直尺和圆规作图的问题是否可解,就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。
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