伴随矩阵 百科内容来自于: 百度百科

在线性代数中,一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法。

定义

A的伴随矩阵可按如下步骤定义:
1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式
代数余子式定义:在一个n阶行列式A中,把
所在的第
行和第
列划去后,留下来的
行列式叫做
的余子式,记着
;即
叫做
的代数余子式)
注意:其中所求的
为一个数值,并非矩阵。
2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵,
补充:(实际求解伴随矩阵即A*=adj(A):去除 A的行列式D中 元素
对应的第
行和第
列得到的新行列式D1代替 aij,这样就不用转置了)
即: n阶方阵的伴随矩阵A*为
……
……
.... .....
……
例如:A是一个2x2矩阵,
a11,a12
a21,a22
则由A可得 Aij (I,j=1,2)为代数余子式
此图片为相应代数余子式的计算过程。

此图片为相应代数余子式的计算过程。

则A的伴随矩阵 A* 为
A11 A21
A12 A22
a22 , -a12
-a21, a11
(余子式定义:A关于第i 行第j 列的余子式(记作Mij)是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定:一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵)
注意:在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。

性质

原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射,例如
1 2 3
2 2 1 ------->
3 4 3
+2 6 -4
-3 -6 5
+2 2 -2
其中原矩阵中第一行中1对应伴随矩阵中的第一列+2 ; 同理,第一行2对应-3; 3对应2; 等等

求法

① 当矩阵是大于等于二阶时:
主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式.
非主对角元素 是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号,序号从1开始的.
主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况,因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数,没必要考虑主对角元素的符号问题。
常用的可以记一下:
a b
—— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a)
②当矩阵的阶数等于一阶时,他的伴随矩阵为一阶单位方阵.
3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换,副对角线符号相反
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- 来自原声例句
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