乘方 百科内容来自于: 百度百科

求n个相同因数乘积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power)。 其中,a叫做底数(base number),n叫做指数(exponent),当a^n看作a的n次方的结果时,也可读作“a的n次幂”。 一个数都可以看作这个本身数的一次方。指数1通常省略不写。 运算顺序:先乘方,再括号(先小括号,再中括号,最后大括号),接乘除,尾加减。 计算一个数的小数次方,如果那个小数是有理数,就把它化为 (即分数)的形式,那么特别的,或者说,任何数的0次方等于1,0除外。 特别地,0的非正指数幂没有意义。

公式

同底数幂法则

同底数幂相乘除,原来的底数作底数,指数的和或差作指数。
推导:
设a^m*a^n中,m=2,n=4,那么
a^2*a^4
=(a*a)*(a*a*a*a)
=a*a*a*a*a*a
=a^6
=a^(2+4)
所以代入:a^m*a^n=a^(m+n)
字母表示为:
a^m·a^n=a^(m+n) 或 a^m÷a^n=a^(m-n) (m、n均为自然数)
1)15^2×15^3; 2)3^2×3^4×3^8; 3)5×5^2×5^3×5^4×…×5^90
1)15^2×15^3=15^(2+3)=15^5
2)3^2×3^4×3^8=3^(2+4+8)=3^14
3)5×5^2×5^3×5^4×…×5^90=5^(1+2+3+…+90)=5^4095

正整数指数幂法则

a^k=a*a*....*a(k个a),其中k∈N*(即k为正整数

指数为0幂法则

a^0=1 ,其中a≠0 ,k∈N*
推导:
a^0
=a^(1-1)
=(a^1)/(a^1)
=a/a
=1

负整数指数幂法则

a^(-k)=1/(a^k) ,其中a≠0,k∈N*
推导:
a^(-k)
=a^(0-k)
=(a^0)/(a^k)
=1/(a^k)

正分数指数幂法则

a^(m/n)=
,其中n≠0 , m/n>0,m,n∈N*(即m,n为正整数)

负分数指数幂法则

a^[-(m/n)]=
,其中,a^m≠0(
≠0,a≠0),m/n>0,n≠0,m,n∈N*
推导:
a^[-(m/n)]
=a^(0-m/n)
=(a^0)/[a^(m/n)]
=1/[a^(m/n)]
=1/
=
分数指数幂时,当n=2k,k∈N*, 且a^m<0时,则该数在实数范围内无意义
特别地,0的非正数指数幂没有意义

平方差

两数和乘两数差等于它们的平方差。
用字母表示为:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
推导:
(a+b)(a-b)
=(a+b)a-(a+b)b
=(a^2+ab)-(b^2+ab)
=a^2-b^2

幂的乘方法则

幂的乘方,底数不变,指数相乘
用字母表示为:
(a^m)^n=a^(m×n)
幂的乘方 幂的乘方
特别指出:a^m^n=a^(m^n)

积的乘方

积的乘方,先把积中的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘
用字母表示为:
(a×b)^n=a^n×b^n
这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方。如:
(a×b×c)^n=a^n×b^n×c^n

同指数幂乘法

指数幂相乘,指数不变,底数相乘
用字母表示为:
(a^n)*(b^n)=(ab)^n

完全平方

两数和(或差)的平方,等于它们的平方的和加上(或者减去)它们的积的2倍
用字母表示为:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2或(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
我们一般把前者叫作 完全平方公式,把后者叫作 完全平方差公式

立方和

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

立方差

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

多项式平方

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

二项式

艾萨克·牛顿发现了二项式。二项式是乘方里的复杂运算。右图为二项式计算法则。一般来说,二项式也可以这样表示:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…… …… ……
这就是著名的杨辉三角

速算

有些较特殊的数的平方,掌握规律后,可以使计算速度加快,现介绍如下。
由n个1组成的数的平方
我们观察下面的例子。
1^2=1
11^2=121
111^2=12321
1111^2=1234321
11111^2=123454321
111111^2=12345654321
……
由以上例子可以看出这样一个规律;求由n个1组成的数的平方,先由1写到n,再由n写到1,即:
11…1 (n个1)^2=1234…(n-1)n(n-1)…4321
注意:其中n只占一个数位,满10应向前进位,当然,这样的速算不宜位数过多。
由n个3组成的数的平方
我们仍观察具体实例:
3^2=9
33^2=1089
333^2=110889
3333^2=11108889
33333^2=1111088889
由此可知:
33…3 (n个3)^2 = 11…11【 (n-1)个1】 0 88…88【 (n-1)个8】 9
个位是5的数的平方
把a看作10的个数,这样个位数字是5的数的平方可以写成;(10a+5)^2的形式。根据完全平方式推导;
(10a+5)^2=(10a)^2+2×10a×5+5^2
=100a^2+100a+25
=100a×(a+1)+25
=a×(a+1)×100+25
由此可知: 个位数字是5的数的平方,等于去掉个位数字后,所得的数与比这个数大1的数相乘的积,后面再写上25

科学计数法

将一个绝对值大于10的数写成“a乘10的n次方(或叫做n次幂)”,(其中大小关系是“1≤a的绝对值<10”且n为正整数)的形式叫做科学计数法例如:10=1*10¹、8942=8.942*10³
当有了负整数指数幂的时候,小于1的正数也可以用科学计数法表示。例如:0.00001=10的负5次方,即小于1的正数也可以用科学计数法表示为a乘10 的负n次方的形式,其中a是正整数数位只有一位的正数,n是正整数。
任何非0实数的0次方都等于1。

pascal语言实现自然数乘方

注意:只能用于求底数、指数均为自然数,且幂不大于2147483647的乘方运算,否则会出错.
var a,b,c,i:longint;{longint的范围较大,为[-2147483648,2147483647]上所有整数}
begin
c:=1;{因为正整数的0次方均为1}
readln(a,b);{输入底数,指数}
if (a=0) and (b=0) then writeln('无效输入');{0的0次方无意义}
for i:=1 to b do c:=c*a;{for循环实现计算c=a^b}
writeln(c);{输出c}
end.
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- 来自原声例句
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