定理描述素数素数的大致分布情况。素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π（x）为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π（x）的增长。以下是第一个这样的估计。π（x）≈x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π（x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。下面是对π（x）更好的估计：π（x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^（1/2）/15），当 x 趋近∞。其中 Li(x) = ∫（dt/ln x2,x），而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。

素数定理可以给出第n个素数p(n）的渐近估计：：p(n）～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(JacquesHadamard）和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin）先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。因为黎曼ζ函数与π（x）关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 ：π（x)=Li (x) + O (x^（1/2） ln x) 至於大O项的常数则还未知道。

　　

质数的正态分布定理

设Pi（N）表示不大于 N 的质数的个数，那么，新的质数定理可用如下公式表示：

Pi（N）= R（N）+ K ×（ Li（N）－ R（N））， 1 > K > －1。

式中K为正态分布 N（μ= 0，σ= 0.2 ），这里我们发现了一个新的数学常数：

1.99471140200716338969973029967……。

素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。

质数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证得，在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下：

●假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是素数或者不是素数。

●如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

●如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

●因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。

●对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。

●所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

其他数学家也给出了他们自己的证明。欧拉利用黎曼ζ函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以了证明。

尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100000以下有多少个素数?”，“一个随机的100位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。

被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^（2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。但是，就是在F5上出了问题！费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：

F5=4294967297=641×6700417，它并非质数，而是一个合数！

更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。

17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。

还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。

美国中央密苏里大学数学教授柯蒂斯·库珀(CurtisCooper)领导的研究小组于1月25日发现了已知的最大梅森质数——2^57885161-1(即2的57885161次方减1)；该质数有17425170位，如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65公里！

人们在寻找梅森质数的同时，对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。英、法、德、美等国的数学家都曾分别给出过有关梅森质数分布的猜测，但都以近似表达式给出，与实际情况的接近程度均难如人意。中国数学家、语言学家周海中是这方面研究的领先者，他于1992年首次给出了梅森质数分布的精确表达式。这一成果后来被国际上命名为“周氏猜测”。

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想（ Goldbach Conjecture）大致可以分为两个猜想（前者称“强”或“二重哥德巴赫猜想”后者称“弱”或“三重哥德巴赫猜想”）：1、 每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2、每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇质数之和。

黎曼猜想

黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“ 关于 质数 的方程的所有意义的解都在一条直线上”。

此条质数之规律内的质数经过整形，“ 关于 质数 的方程的所有意义的解都在一条直线上”化为球体质数分布。

孪生质数猜想

1849年，波林那克提出 孪生质数猜想 （the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。

猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数。

10016957和10016959是发生在第333899位序号质数月的中旬[18±1]的孪生质数。

任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1）*(P_2^a2）......(P_n^an),这里P_1<P_2<...<P_n是质数，其诸方幂 ai 是正整数。

这样的分解称为N 的标准分解式。

算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的）。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环，欧几里得整环等等概念。更一般的还有戴德金理想分解定理。

等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为 公差。类似7、37、67、97、107、137、167、197。这样由素数组成的数列叫做等差素数数列。2004年，格林和陶哲轩证明存在任意长的 素数等差数列。2004年4月18日，两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是说，对于任意值K，存在K个成等差级数的素数。例如 K=3，有素数序列3,5,7 （每两个差2）……K=10，有素数序列 199,409,619,829,1039,1249,1459,1669,1879,2089 （每两个差210）。